Пример 8.4: Вычисление производной функции $y = \sqrt{\cos(3x-2)}$

🧮 Решение:

1) Используем правило производной сложной функции:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\cos(3x-2)}} \cdot \frac{d}{dx}[\cos(3x-2)]$

2) Производная косинуса: $\frac{d}{dx}[\cos(3x-2)] = -\sin(3x-2) \cdot 3$

3) Подставляем:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\cos(3x-2)}} \cdot (-3\sin(3x-2))$

4) Упрощаем:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3\sin(3x-2)}{2\sqrt{\cos(3x-2)}}$

Пример 8.5: Вычисление производной функции $y = \arctan(\sqrt{x}) \cdot \ln x$

🧮 Решение:

1) Используем правило производной произведения:
$\frac{dy}{dx} = \arctan(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}[\ln x] + \ln x \cdot \frac{d}{dx}[\arctan(\sqrt{x})]$

2) Производная логарифма: $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$

3) Производная арктангенса: $\frac{d}{dx}[\arctan(\sqrt{x})] = \frac{1}{1+\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

4) Подставляем и упрощаем:
$\frac{dy}{dx} = \arctan(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$

Пример 8.8: Уравнение касательной к графику функции $y = e^x$ в точке $x_0 = 0$

🧮 Решение:

1) Точка касания: $(x_0, y_0) = (0, e^0) = (0, 1)$

2) Производная функции $y = e^x$: $\frac{dy}{dx} = e^x$

3) В точке $x_0 = 0$: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = e^0 = 1$

4) Уравнение касательной по точке и угловому коэффициенту:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 1 = 1(x - 0)$

5) Итоговое уравнение касательной:
$y = x + 1$

Пример 9.11: Интеграл $\int \ln^2 x dx$

🧮 Решение методом интегрирования по частям:

1) Выберем $u = \ln x$, $dv = \ln x dx$

2) Тогда $du = \frac{1}{x}dx$, $v = \frac{1}{2}(\ln x)^2$

3) Формула интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$

4) Подставляем:
$\int \ln^2 x dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2 x - \int \frac{1}{2}(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx$

5) Упрощаем:
$= \frac{1}{2}(\ln x)^2 x - \frac{1}{2}\int \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} dx$

6) Финальный результат:
$\int \ln^2 x dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C$

Пример 9.16: Интеграл $\int \frac{x dx}{\sqrt[3]{x+1}}$

🧮 Решение методом подстановки:

1) Сделаем замену: $u = x+1$, $du = dx$
$x = u - 1$

2) Пределы интегрирования не меняются

3) Преобразуем интеграл:
$\int \frac{(u-1)}{u^{1/3}} du$

4) Раскладываем:
$\int \frac{u}{u^{1/3}} du - \int \frac{1}{u^{1/3}} du$

5) Упрощаем:
$\int u^{2/3} du - \int u^{-1/3} du$

6) Интегрируем:
$\frac{3}{5}u^{5/3} - \frac{3}{2}u^{2/3} + C$

7) Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{3}{5}(x+1)^{5/3} - \frac{3}{2}(x+1)^{2/3} + C$

Пример 9.27: Интеграл $\int_0^{2\pi} x \cos x dx$

🧮 Решение методом интегрирования по частям:

1) Выберем $u = x$, $dv = \cos x dx$

2) Тогда $du = dx$, $v = \sin x$

3) Формула интегрирования по частям:
$\int_0^{2\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \sin x dx$

4) Вычисляем первую часть:
$[x \sin x]_0^{2\pi} = 2\pi \sin(2\pi) - 0 \cdot \sin(0) = 0$

5) Вычисляем вторую часть:
$-\int_0^{2\pi} \sin x dx = -[-\cos x]_0^{2\pi} = -(-\cos(2\pi) + \cos(0)) = 0$

6) Итоговый результат:
$\int_0^{2\pi} x \cos x dx = 0$