Я проанализирую изображение и предоставлю подробный ответ о приращении аргумента и функции.

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Приращение аргумента и функции: определение и основные понятия",
"description": "Подробное объяснение понятий приращения аргумента и функции в математическом анализе, включая определения, формулы и графическую интерпретацию",
"keywords": ["приращение функции", "приращение аргумента", "математический анализ", "непрерывность функции", "дельта x", "дельта y"]
}

Давайте разберем тему приращения аргумента и функции пошагово:

1. Основные определения:
   - Приращение аргумента (Δx) - это разность между двумя значениями аргумента: $x_1 - x_0$
   - Приращение функции (Δy или Δf) - это разность значений функции: $f(x_1) - f(x_0)$

2. Обозначения:
   - Δx (дельта x) - приращение аргумента
   - Δy или Δf (дельта y или дельта f) - приращение функции
   - x₀ - начальная точка
   - x₁ - конечная точка

3. Математическая запись:
   - Если $x_1 - x_0 = Δx$, то $x_1 = x_0 + Δx$
   - $Δf = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$

4. Графическая интерпретация:
   - На графике приращение аргумента представляет собой горизонтальный отрезок
   - Приращение функции - вертикальный отрезок
   - Вместе они образуют характерный прямоугольник на графике функции

Эти понятия являются фундаментальными для изучения производной функции и дальнейшего развития математического анализа.

🔍 Важное примечание: приращение может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от направления изменения аргумента и поведения функции.

<!-- Подписи осей -->
<text x="260" y="255">x</text>
<text x="40" y="40">y</text>

<!-- График функции -->
<path d="M 50 250 Q 150 250 200 100" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Точки x₀ и x₁ -->
<circle cx="100" cy="200" r="3" fill="red"/>
<circle cx="150" cy="150" r="3" fill="red"/>

<!-- Приращение аргумента Δx -->
<line x1="100" y1="205" x2="150" y2="205" stroke="green" stroke-width="2"/>
<text x="115" y="220">Δx</text>

<!-- Приращение функции Δy -->
<line x1="150" y1="200" x2="150" y2="150" stroke="red" stroke-width="2"/>
<text x="160" y="175">Δy</text>

<!-- Подписи точек -->
<text x="90" y="215">x₀</text>
<text x="150" y="215">x₁</text>

<!-- Пунктирные линии -->
<line x1="100" y1="200" x2="150" y2="200" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/>
<line x1="150" y1="150" x2="150" y2="200" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/>

Рассмотрим более подробно концепцию приращения:

1. Геометрический смысл:
   - На графике показана некоторая функция y = f(x)
   - При движении от точки x₀ к точке x₁ мы получаем:
   * Горизонтальное смещение Δx (зеленый отрезок)
   * Вертикальное изменение Δy (красный отрезок)

2. Практическое применение:
   - Приращение позволяет изучить поведение функции при малых изменениях аргумента
   - Отношение Δy/Δx даёт среднюю скорость изменения функции
   - При стремлении Δx к нулю это отношение стремится к производной функции

3. Важные свойства:
   - Приращение аргумента Δx можно задавать произвольно
   - Приращение функции Δy зависит от вида функции f(x)
   - Прямоугольник, образованный приращениями, помогает визуализировать изменение функции

На графике:
- Синяя линия - график функции
- Зелёный отрезок - приращение аргумента (Δx)
- Красный отрезок - приращение функции (Δy)
- Серые пунктирные линии образуют характерный прямоугольник изменения

<!-- Стрелки на осях -->
<polygon points="260,260 250,255 250,265" fill="black"/>
<polygon points="40,40 35,50 45,50" fill="black"/>

<!-- Подписи осей -->
<text x="270" y="265">x</text>
<text x="35" y="30">y</text>

<!-- График функции -->
<path d="M 40 240 Q 100 220 140 160 T 240 80" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Приращение аргумента (Δx) -->
<line x1="80" y1="260" x2="140" y2="260" stroke="green" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="280">Δx</text>

<!-- Приращение функции (Δy) -->
<line x1="140" y1="200" x2="140" y2="160" stroke="red" stroke-width="2"/>
<text x="150" y="180">Δy</text>

<!-- Пунктирные линии -->
<line x1="80" y1="200" x2="140" y2="200" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/>
<line x1="80" y1="200" x2="80" y2="260" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/>
<line x1="140" y1="160" x2="140" y2="260" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/>

<!-- Точки x₀ и x₁ -->
<circle cx="80" cy="200" r="3" fill="black"/>
<circle cx="140" cy="160" r="3" fill="black"/>

<!-- Подписи точек -->
<text x="70" y="275">x₀</text>
<text x="135" y="275">x₁</text>

<!-- Значения функции -->
<text x="60" y="205">f(x₀)</text>
<text x="145" y="165">f(x₁)</text>

Давайте разберём ещё подробнее понятие приращения:

1. Математическое определение:
   - Приращение аргумента: $Δx = x_1 - x_0$
   - Приращение функции: $Δy = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$

2. На графике наглядно показано:
   - Точка $(x_0, f(x_0))$ - начальная точка
   - Точка $(x_1, f(x_1))$ - конечная точка
   - Зелёный отрезок - приращение аргумента по оси X
   - Красный отрезок - приращение функции по оси Y
   - Пунктирные линии образуют прямоугольник, наглядно показывающий изменение функции

3. Дополнительные свойства:
   - Если Δx > 0, движемся вправо по оси X
   - Если Δx < 0, движемся влево по оси X
   - Знак Δy зависит от характера изменения функции (возрастание/убывание)
   - Отношение Δy/Δx характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке $[x_0, x_1]$

4. Практическое значение:
   - Используется для определения производной функции
   - Помогает исследовать поведение функции в окрестности точки
   - Является основой для дифференциального исчисления