{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела степенного выражения при x стремящемся к бесконечности",
"description": "Подробное решение задачи на нахождение предела выражения (x+2)/(x+1) в степени (1+3x) при x→∞",
"keywords": ["предел", "степенная функция", "бесконечность", "математический анализ", "показательная функция"]
}

Давайте решим эту задачу пошагово! 📚

Нам нужно найти: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{1+3x}$

Шаг 1️⃣: Проанализируем выражение
* Внутри скобок имеем дробь $\frac{x+2}{x+1}$
* В показателе степени выражение $1+3x$
* При x→∞ дробь стремится к 1, а показатель к ∞

Шаг 2️⃣: Преобразуем дробь
* $\frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$
* При x→∞: $\frac{1}{x+1}$ → 0

Шаг 3️⃣: Применим формулу предела
* Это выражение вида $(1 + \alpha)^\beta$, где
* $\alpha = \frac{1}{x+1}$ → 0
* $\beta = 1+3x$ → ∞
* Используем формулу $\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \alpha)^\beta = e^{\lim\limits_{x \to \infty} \alpha\beta}$

Шаг 4️⃣: Вычислим $\alpha\beta$
* $\alpha\beta = \frac{1}{x+1}(1+3x)$
* $= \frac{1+3x}{x+1}$
* $= \frac{1+3x}{x+1} = \frac{3x+1}{x+1}$ → 3

Шаг 5️⃣: Окончательный ответ
* $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{1+3x} = e^3$

Ответ: $e^3$ 🎯