{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение интеграла с тригонометрической функцией",
"description": "Пошаговое решение интеграла dx/(3-5cosx)",
"keywords": ["интеграл", "тригонометрические функции", "косинус", "интегрирование", "универсальная подстановка"]
}

Давайте решим этот интеграл пошагово! 🔢

Нам нужно найти: $\int \frac{dx}{3-5\cos x}$

Шаг 1️⃣: Это интеграл от дроби, где в знаменателе есть косинус. Для таких интегралов часто используется универсальная тригонометрическая подстановка:
$t = \tan\frac{x}{2}$

Шаг 2️⃣: При такой подстановке:
* $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$
* $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
* $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

Шаг 3️⃣: Подставляем выражение для косинуса в знаменатель:
$\int \frac{dx}{3-5\cos x} = \int \frac{2dt}{(1+t^2)(3-5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2})}$

Шаг 4️⃣: Преобразуем знаменатель:
$3-5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{3(1+t^2)-5(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{3+3t^2-5+5t^2}{1+t^2} = \frac{8t^2-2}{1+t^2}$

Шаг 5️⃣: Интеграл принимает вид:
$\int \frac{2dt}{(1+t^2)(\frac{8t^2-2}{1+t^2})} = \int \frac{2dt}{8t^2-2} = \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^2-\frac{1}{4}}$

Шаг 6️⃣: Последний интеграл решается через разложение на простые дроби:
$\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{1/4}}\ln|\frac{t-\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}| + C$

Шаг 7️⃣: Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{2}\ln|\frac{\tan\frac{x}{2}-\frac{1}{2}}{\tan\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}| + C$

Это и есть ответ! 🎯