{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Решение интеграла с абсолютным значением и рациональной функцией",
"description": "Подробное решение интеграла вида (1/5)∫(d(|x-6|)/(x-6)) - (1/5)∫(dx/(3x²+6x+10))",
"keywords": ["интеграл", "абсолютная величина", "рациональные функции", "интегрирование", "математический анализ"]
}

Давайте решим это задание пошагово. У нас есть интеграл:

$\frac{1}{5}\int\frac{d(|x-6|)}{x-6} - \frac{1}{5}\int\frac{dx}{3x^2+6x+10}$

Шаг 1: Рассмотрим первый интеграл $\frac{1}{5}\int\frac{d(|x-6|)}{x-6}$
- При x > 6: |x-6| = x-6, производная равна 1
- При x < 6: |x-6| = -(x-6), производная равна -1

Шаг 2: Учитывая это, первый интеграл равен:
- При x > 6: $\frac{1}{5}\int\frac{1}{x-6}dx = \frac{1}{5}\ln|x-6| + C_1$
- При x < 6: $\frac{1}{5}\int\frac{-1}{x-6}dx = -\frac{1}{5}\ln|x-6| + C_2$

Шаг 3: Для второго интеграла $-\frac{1}{5}\int\frac{dx}{3x^2+6x+10}$
- Выделим полный квадрат в знаменателе:
- $3x^2+6x+10 = 3(x^2+2x+\frac{10}{3}) = 3(x^2+2x+1+\frac{7}{3}) = 3((x+1)^2+\frac{7}{3})$

Шаг 4: После преобразования второй интеграл примет вид:
$-\frac{1}{5}\int\frac{dx}{3((x+1)^2+\frac{7}{3})} = -\frac{1}{15}\int\frac{dx}{(x+1)^2+\frac{7}{3}}$

Шаг 5: Используем замену и табличный интеграл:
$-\frac{1}{15}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\arctan(\frac{\sqrt{3}(x+1)}{\sqrt{7}}) + C$

Итоговый ответ будет состоять из двух частей в зависимости от области определения x:
- При x > 6: $\frac{1}{5}\ln|x-6| - \frac{1}{15}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\arctan(\frac{\sqrt{3}(x+1)}{\sqrt{7}}) + C$
- При x < 6: $-\frac{1}{5}\ln|x-6| - \frac{1}{15}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\arctan(\frac{\sqrt{3}(x+1)}{\sqrt{7}}) + C$