{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление производной тригонометрической функции в точке",
"description": "Решение задачи на нахождение значения производной функции y = 1.5·ctg²(2x) в точке x₀ = π/6",
"keywords": ["производная", "тригонометрия", "котангенс", "точка", "дифференцирование", "сложная функция"]
}

Давайте решим эту задачу пошагово! 📚

Шаг 1️⃣: Для начала вспомним формулу производной котангенса:
$(ctg(x))' = -\frac{1}{\sin^2(x)}$

Шаг 2️⃣: В нашем случае функция сложная: $y = 1.5 \cdot ctg^2(2x)$
Используем правило дифференцирования степенной функции и цепное правило.

Шаг 3️⃣: Находим производную:
$y' = 1.5 \cdot 2 \cdot ctg(2x) \cdot (ctg(2x))' \cdot 2$
$y' = 1.5 \cdot 2 \cdot ctg(2x) \cdot (-\frac{1}{\sin^2(2x)}) \cdot 2$
$y' = -6 \cdot \frac{ctg(2x)}{\sin^2(2x)}$

Шаг 4️⃣: Вычисляем значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:
- $2x_0 = \frac{\pi}{3}$
- $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 5️⃣: Подставляем значения:
$y'(\frac{\pi}{6}) = -6 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4}{3} = -8\sqrt{3}$

Ответ: $y'(\frac{\pi}{6}) = -8\sqrt{3}$