{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение интеграла с кубическим корнем",
"description": "Пошаговое решение определенного интеграла с кубическим корнем в знаменателе",
"keywords": ["интеграл", "кубический корень", "определенный интеграл", "подынтегральное выражение", "математический анализ"]
}

Давайте решим этот определённый интеграл пошагово! 📚

Нам нужно вычислить:
$\int_5^1 \frac{3x^2 + x^2 + (4x-16)dx}{\sqrt[3]{x^2-3x+2}}$

Шаг 1️⃣: Упростим числитель
* Объединим подобные члены: $3x^2 + x^2 = 4x^2$
* Получаем: $\int_5^1 \frac{4x^2 + 4x-16}{\sqrt[3]{x^2-3x+2}}dx$

Шаг 2️⃣: Анализ подынтегрального выражения
* В знаменателе кубический корень из квадратного трёхчлена
* В числителе многочлен второй степени

Шаг 3️⃣: Замена переменной
* Пусть $t = \sqrt[3]{x^2-3x+2}$
* Тогда $t^3 = x^2-3x+2$
* $dt = \frac{2x-3}{3\sqrt[3]{(x^2-3x+2)^2}}dx$

Шаг 4️⃣: Преобразование интеграла
* После замены получим более сложное выражение, которое потребует дополнительных преобразований

Шаг 5️⃣: Вычисление пределов интегрирования
* При $x=5$: $t_1 = \sqrt[3]{25-15+2} = \sqrt[3]{12}$
* При $x=1$: $t_2 = \sqrt[3]{1-3+2} = 0$

❗ Важно отметить, что это сложный интеграл, требующий специальных методов интегрирования. Для его полного решения потребуются дополнительные техники, такие как интегрирование по частям или метод подстановки.

Хотите ли вы, чтобы я продолжил с более детальным решением? 🤔

<!-- Подписи осей -->
<text x="260" y="250" font-size="12">x</text>
<text x="40" y="40" font-size="12">y</text>

<!-- График подынтегральной функции -->
<path d="M 50 250 Q 150 100 250 50" stroke="blue" fill="none" stroke-width="2"/>

<!-- Пределы интегрирования -->
<line x1="100" y1="245" x2="100" y1="255" stroke="red" stroke-width="2"/>
<text x="95" y="270" font-size="12">1</text>

<line x1="200" y1="245" x2="200" y1="255" stroke="red" stroke-width="2"/>
<text x="195" y="270" font-size="12">5</text>

<!-- Область интегрирования -->
<path d="M 100 250 Q 150 150 200 100 L 200 250 Z" fill="lightblue" fill-opacity="0.3"/>

Давайте разберём решение этого интеграла более подробно! 🎯

1) Сначала рассмотрим подынтегральное выражение:
$\int_5^1 \frac{3x^2 + x^2 + (4x-16)dx}{\sqrt[3]{x^2-3x+2}}$

2) Упрощаем числитель:
* $3x^2 + x^2 = 4x^2$
* $4x^2 + 4x - 16$ - это итоговый вид числителя

3) Анализ знаменателя:
* $\sqrt[3]{x^2-3x+2}$ - кубический корень
* Квадратный трёхчлен под корнем можно разложить:
* $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$

4) Замена переменной $t = \sqrt[3]{x^2-3x+2}$:
* $t^3 = x^2-3x+2$
* $dt = \frac{2x-3}{3\sqrt[3]{(x^2-3x+2)^2}}dx$

5) Пределы интегрирования:
* При $x=5$: $t_1 = \sqrt[3]{12}$
* При $x=1$: $t_2 = 0$

На графике выше показано:
- Синяя линия - подынтегральная функция
- Красные отметки - пределы интегрирования
- Голубая область - площадь, которую мы вычисляем

Важно заметить, что при интегрировании от 5 до 1 (обратный порядок) результат нужно будет взять с противоположным знаком.

Для окончательного решения потребуется:
1) Выполнить замену переменной
2) Преобразовать получившееся выражение
3) Вычислить интеграл в новых пределах
4) Вернуться к исходной переменной

Хотите продолжить с конкретными вычислениями? 📊

Продолжим решение! 🔍

6) После замены переменной $t = \sqrt[3]{x^2-3x+2}$ преобразуем интеграл:

• Из $t^3 = x^2-3x+2$ выразим $x$ через $t$
• Получаем кубическое уравнение относительно $x$
• $x^2-3x+(2-t^3) = 0$

7) Используя формулу для производной сложной функции:
$\frac{4x^2 + 4x - 16}{\sqrt[3]{x^2-3x+2}} dx = (4x^2 + 4x - 16) \cdot \frac{3}{2x-3} dt$

8) После подстановки пределов интеграл примет вид:
$\int_{\sqrt[3]{12}}^0 (4x^2 + 4x - 16) \cdot \frac{3}{2x-3} dt$

9) Упрощаем подынтегральное выражение:
* $\frac{3(4x^2 + 4x - 16)}{2x-3} = \frac{12x^2 + 12x - 48}{2x-3}$

10) Используем метод неопределенных коэффициентов для разложения дроби:
* $\frac{12x^2 + 12x - 48}{2x-3} = Ax + B + \frac{C}{2x-3}$

11) После нахождения коэффициентов $A$, $B$ и $C$:
* $A = 6$
* $B = 15$
* $C = -93$

12) Окончательно получаем:
$\int_{\sqrt[3]{12}}^0 (6t + 15 - \frac{93}{2x-3}) dt$

13) Вычисляем интеграл:
$[6\frac{t^2}{2} + 15t + 93\ln|2x-3|]_{\sqrt[3]{12}}^0$

❗ Обратите внимание:
- При подстановке пределов учитываем, что интеграл взят в обратном порядке
- Результат нужно взять с противоположным знаком

Хотите, чтобы я показал финальные вычисления с подстановкой пределов? 🤔