Привет! Сейчас помогу тебе с решением этих заданий. Начнем с первого варианта контрольной работы №2.

Задание 1 (Вариант 1)

а) $(\frac{1}{5})^{3-2x} = 25$

1. Представим 25 как степень $\frac{1}{5}$:
   $25 = (\frac{1}{5})^{-2}$
2. Теперь уравнение выглядит так:
   $(\frac{1}{5})^{3-2x} = (\frac{1}{5})^{-2}$
3. Приравниваем показатели степеней:
   $3 - 2x = -2$
4. Решаем уравнение относительно $x$:
   $-2x = -2 - 3$
   $-2x = -5$
   $x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$

б) $\log_5(2x-1) = 2$

1. Используем определение логарифма:
   $2x - 1 = 5^2$
2. Вычисляем:
   $2x - 1 = 25$
3. Решаем уравнение относительно $x$:
   $2x = 25 + 1$
   $2x = 26$
   $x = 13$

Ответ: $x = 13$

в) $4^x + 2^x - 20 = 0$

1. Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:
   $y^2 + y - 20 = 0$
2. Решаем квадратное уравнение:
   $D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$
   $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
   $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
3. Возвращаемся к замене $y = 2^x$:
   • $2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$
   • $2^x = -5$ - нет решений, так как $2^x$ всегда положительно.

Ответ: $x = 2$

г) $\log_2(x-2) + \log_2 x = 3$

1. Используем свойство логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$
   $\log_2((x-2)x) = 3$
2. Убираем логарифм:
   $(x-2)x = 2^3$
   $x^2 - 2x = 8$
3. Решаем квадратное уравнение:
   $x^2 - 2x - 8 = 0$
   $D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$
   $x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
   $x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
4. Проверяем корни:
   • $x = 4$: $\log_2(4-2) + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ (подходит)
   • $x = -2$: $\log_2(-2-2) + \log_2 (-2)$ - не имеет смысла, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: $x = 4$