Решение предела при x, стремящемся к бесконечности
Нам нужно вычислить предел: $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x}$
Шаг 1: Анализ выражения
При $x \to \infty$ дробь $\frac{x+4}{x+8}$ стремится к 1, но мы не можем просто подставить 1 в выражение, так как показатель степени $-3x$ тоже стремится к бесконечности. Это неопределенность вида $1^{\infty}$.
Шаг 2: Преобразование выражения
Преобразуем выражение под степенью:
$\frac{x+4}{x+8} = \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{8}{x})} = \frac{1+\frac{4}{x}}{1+\frac{8}{x}}$
Шаг 3: Применение логарифмирования
Для решения неопределенности вида $1^{\infty}$ удобно использовать логарифмирование. Обозначим исходный предел как $L$:
$L = \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x}$
Возьмем натуральный логарифм:
$\ln L = \ln \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x} = \lim_{x\to\infty} \ln\left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x} = \lim_{x\to\infty} -3x \ln\left(\frac{x+4}{x+8}\right)$
Шаг 4: Использование эквивалентности $\ln(1+t) \approx t$ при $t \to 0$
При $x \to \infty$ выражение $\frac{x+4}{x+8}$ близко к 1, поэтому можно записать:
$\frac{x+4}{x+8} = 1 + \left(\frac{x+4}{x+8} - 1\right) = 1 + \frac{x+4-x-8}{x+8} = 1 - \frac{4}{x+8}$
Используя приближение $\ln(1+t) \approx t$ при малых $t$, получаем:
$\ln\left(\frac{x+4}{x+8}\right) = \ln\left(1 - \frac{4}{x+8}\right) \approx -\frac{4}{x+8}$
Шаг 5: Вычисление предела
Теперь подставим это в выражение для $\ln L$:
$\ln L = \lim_{x\to\infty} -3x \ln\left(\frac{x+4}{x+8}\right) \approx \lim_{x\to\infty} -3x \cdot \left(-\frac{4}{x+8}\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{12x}{x+8}$
При $x \to \infty$:
$\lim_{x\to\infty} \frac{12x}{x+8} = \lim_{x\to\infty} \frac{12}{1+\frac{8}{x}} = 12$
Таким образом, $\ln L = 12$, откуда $L = e^{12}$
Проверка решения
Давайте проверим наше решение другим способом. Преобразуем исходное выражение:
$\left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x} = \left[\left(\frac{x+8}{x+4}\right)^{x}\right]^3$
Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+8}{x+4}\right)^{x}$. Преобразуем его:
$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+8}{x+4}\right)^{x} = \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x+4}\right)^{x} = \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x+4}\right)^{\frac{x+4}{4} \cdot \frac{4x}{x+4}}$
При $x \to \infty$ выражение $\frac{x+4}{4} \to \infty$ и $\frac{4x}{x+4} \to 4$, поэтому:
$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x+4}\right)^{\frac{x+4}{4} \cdot \frac{4x}{x+4}} = \left[\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x+4}\right)^{\frac{x+4}{4}}\right]^4 = (e)^4 = e^4$
Следовательно, $L = (e^4)^3 = e^{12}$
Ответ
Таким образом, $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x} = e^{12}$
