{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 10,
"url_subject": "math",
"title": "Решение определенного интеграла с пределами x-6",
"description": "Пошаговое решение определенного интеграла функции 3x^2+6x+10 с заданными пределами",
"keywords": ["интеграл", "определенный интеграл", "пределы интегрирования", "первообразная", "математический анализ"]
}

Давайте решим этот определённый интеграл пошагово! 📐

Дано: $\int_{x-6}^5 (3x^2+6x+10)dx$

Шаг 1️⃣: Найдём первообразную подынтегральной функции
- Для $3x^2$ первообразная: $x^3$
- Для $6x$ первообразная: $3x^2$
- Для $10$ первообразная: $10x$
- Общая первообразная: $F(x) = x^3 + 3x^2 + 10x + C$

Шаг 2️⃣: Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

Шаг 3️⃣: Подставим пределы:
$[x^3 + 3x^2 + 10x]_5^{x-6}$

$= ((x-6)^3 + 3(x-6)^2 + 10(x-6)) - (5^3 + 3(5)^2 + 10(5))$

Шаг 4️⃣: Раскроем скобки в первой части:
$(x-6)^3 = x^3 - 18x^2 + 108x - 216$
$3(x-6)^2 = 3x^2 - 36x + 108$
$10(x-6) = 10x - 60$

Шаг 5️⃣: Упростим вторую часть:
$5^3 + 3(5)^2 + 10(5) = 125 + 75 + 50 = 250$

Шаг 6️⃣: Окончательный ответ:
$(x^3 - 18x^2 + 108x - 216 + 3x^2 - 36x + 108 + 10x - 60) - 250$
$= x^3 - 15x^2 + 82x - 418$

Ответ: $x^3 - 15x^2 + 82x - 418$