Задание 1. Решить иррациональное уравнение: $\sqrt{1-x^2}-4x+x+1=0$

Решим данное иррациональное уравнение пошагово:

Шаг 1: Перенесем все члены, кроме иррационального выражения, в правую часть уравнения.
$\sqrt{1-x^2} = 4x-x-1 = 3x-1$

Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, поэтому в конце необходимо будет выполнить проверку.
$(\sqrt{1-x^2})^2 = (3x-1)^2$
$1-x^2 = 9x^2-6x+1$
$1-x^2 = 9x^2-6x+1$

Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду.
$1-x^2 = 9x^2-6x+1$
$0 = 9x^2+x^2-6x+1-1$
$0 = 10x^2-6x$
$10x^2-6x = 0$

Шаг 4: Вынесем общий множитель за скобки.
$2x(5x-3) = 0$

Шаг 5: Найдем корни уравнения.
$2x = 0$ или $5x-3 = 0$
$x = 0$ или $x = \frac{3}{5}$

Шаг 6: Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для $x = 0$:
$\sqrt{1-0^2}-4\cdot0+0+1 = \sqrt{1}-0+0+1 = 1+1 = 2 \neq 0$

Значит, $x = 0$ не является корнем исходного уравнения (это посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат).

Проверка для $x = \frac{3}{5}$:
$\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}-4\cdot\frac{3}{5}+\frac{3}{5}+1 = \sqrt{1-\frac{9}{25}}-\frac{12}{5}+\frac{3}{5}+1 = \sqrt{\frac{16}{25}}-\frac{12}{5}+\frac{3}{5}+1 = \frac{4}{5}-\frac{12}{5}+\frac{3}{5}+1 = \frac{4-12+3+5}{5} = \frac{0}{5} = 0$

Ответ: $x = \frac{3}{5}$

Задание 2. Решить иррациональное уравнение: $\sqrt{-x^2-6x-4} = x+2$

Шаг 1: Перенесем правую часть уравнения влево.
$\sqrt{-x^2-6x-4} - (x+2) = 0$

Шаг 2: Обратим внимание, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому найдем область определения уравнения.
$-x^2-6x-4 \geq 0$

Преобразуем это неравенство:
$-x^2-6x-4 \geq 0$
$-1(x^2+6x+4) \geq 0$
$x^2+6x+4 \leq 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$

Корни квадратного трехчлена:
$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{20}}{2} = -3 + \sqrt{5}$
$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{20}}{2} = -3 - \sqrt{5}$

Квадратный трехчлен $x^2+6x+4$ принимает неположительные значения на отрезке $[-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}]$. Это и есть область определения исходного уравнения.

Шаг 3: Возведем обе части исходного уравнения в квадрат.
$(\sqrt{-x^2-6x-4})^2 = (x+2)^2$
$-x^2-6x-4 = x^2+4x+4$

Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду.
$-x^2-6x-4 = x^2+4x+4$
$-x^2-x^2-6x-4x-4-4 = 0$
$-2x^2-10x-8 = 0$
$2x^2+10x+8 = 0$

Шаг 5: Разделим все члены уравнения на 2.
$x^2+5x+4 = 0$

Шаг 6: Найдем дискриминант и корни уравнения.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$

Шаг 7: Проверим, принадлежат ли найденные корни области определения уравнения, то есть отрезку $[-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}]$.

Приблизительно: $[-3-2.236; -3+2.236] = [-5.236; -0.764]$

$x_1 = -1$ принадлежит этому отрезку.
$x_2 = -4$ принадлежит этому отрезку.

Шаг 8: Проверим найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Проверка для $x = -1$:
$\sqrt{-(-1)^2-6(-1)-4} = -1+2$
$\sqrt{-1+6-4} = 1$
$\sqrt{1} = 1$ ✓

Проверка для $x = -4$:
$\sqrt{-(-4)^2-6(-4)-4} = -4+2$
$\sqrt{-16+24-4} = -2$
$\sqrt{4} = 2 \neq -2$ ✗

Корень $x = -4$ не удовлетворяет исходному уравнению, так как при подстановке получаем $2 = -2$, что неверно. Это посторонний корень, который появился при возведении в квадрат.

Ответ: $x = -1$