Задача: Расчет ёмкостей цепей из трех конденсаторов

Даны три конденсатора с ёмкостями:
C₁ = 10 мкФ
C₂ = 20 мкФ
C₃ = 50 мкФ

Необходимо найти ёмкости всех возможных участков цепи, которые можно спаять, используя все три конденсатора одновременно, и записать полученные значения в порядке возрастания.

Рассмотрим все возможные схемы соединения:

1️⃣ Все конденсаторы соединены последовательно

При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость рассчитывается по формуле:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{50} = \frac{5 + 2.5 + 1}{50} = \frac{8.5}{50} = \frac{17}{100}$

$C_{общ} = \frac{100}{17} \approx 5.88$ мкФ ≈ 6 мкФ

2️⃣ Все конденсаторы соединены параллельно

При параллельном соединении конденсаторов общая ёмкость равна сумме ёмкостей:
$C_{общ} = C_1 + C_2 + C_3 = 10 + 20 + 50 = 80$ мкФ

3️⃣ C₁ и C₂ параллельно, затем последовательно с C₃

$C_{12} = C_1 + C_2 = 10 + 20 = 30$ мкФ

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{30} + \frac{1}{50} = \frac{5 + 3}{150} = \frac{8}{150}$

$C_{общ} = \frac{150}{8} = 18.75$ мкФ ≈ 19 мкФ

4️⃣ C₁ и C₃ параллельно, затем последовательно с C₂

$C_{13} = C_1 + C_3 = 10 + 50 = 60$ мкФ

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{13}} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{60} + \frac{1}{20} = \frac{1 + 3}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$

$C_{общ} = 15$ мкФ

5️⃣ C₂ и C₃ параллельно, затем последовательно с C₁

$C_{23} = C_2 + C_3 = 20 + 50 = 70$ мкФ

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{23}} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{70} + \frac{1}{10} = \frac{1 + 7}{70} = \frac{8}{70}$

$C_{общ} = \frac{70}{8} = 8.75$ мкФ ≈ 9 мкФ

6️⃣ C₁ и C₂ последовательно, затем параллельно с C₃

$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 1}{20} = \frac{3}{20}$

$C_{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67$ мкФ

$C_{общ} = C_{12} + C_3 = \frac{20}{3} + 50 = \frac{20 + 150}{3} = \frac{170}{3} \approx 56.67$ мкФ ≈ 57 мкФ

7️⃣ C₁ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₂

$\frac{1}{C_{13}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{50} = \frac{5 + 1}{50} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25}$

$C_{13} = \frac{25}{3} \approx 8.33$ мкФ

$C_{общ} = C_{13} + C_2 = \frac{25}{3} + 20 = \frac{25 + 60}{3} = \frac{85}{3} \approx 28.33$ мкФ ≈ 28 мкФ

8️⃣ C₂ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₁

$\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{20} + \frac{1}{50} = \frac{5 + 2}{100} = \frac{7}{100}$

$C_{23} = \frac{100}{7} \approx 14.29$ мкФ

$C_{общ} = C_{23} + C_1 = \frac{100}{7} + 10 = \frac{100 + 70}{7} = \frac{170}{7} \approx 24.29$ мкФ ≈ 24 мкФ

Ответ:

Полученные значения ёмкостей в порядке возрастания (округлённые до целых мкФ):
6, 9, 15, 19, 24, 28, 57, 80 мкФ

Задача: Расчет ёмкостей цепей из трех конденсаторов

Даны три конденсатора с ёмкостями:
C₁ = 10 мкФ
C₂ = 20 мкФ
C₃ = 50 мкФ

Необходимо найти ёмкости всех возможных участков цепи, используя все три конденсатора одновременно, и записать полученные значения в порядке возрастания.

Основные правила соединения конденсаторов:

1️⃣ Последовательное соединение:
При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость меньше наименьшей из ёмкостей. Формула для расчета:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}$

Физический смысл: при последовательном соединении увеличивается расстояние между обкладками эквивалентного конденсатора, что уменьшает общую ёмкость.

2️⃣ Параллельное соединение:
При параллельном соединении конденсаторов общая ёмкость равна сумме ёмкостей всех конденсаторов. Формула для расчета:

$C_{общ} = C_1 + C_2 + ... + C_n$

Физический смысл: при параллельном соединении увеличивается площадь обкладок эквивалентного конденсатора, что увеличивает общую ёмкость.

Рассмотрим все возможные схемы соединения:

1️⃣ Все конденсаторы соединены последовательно

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{50}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{5}{50} + \frac{2.5}{50} + \frac{1}{50} = \frac{8.5}{50}$

Упростим дробь:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{17}{100}$

Отсюда:
$C_{общ} = \frac{100}{17} \approx 5.88$ мкФ

После округления до целых: 6 мкФ

2️⃣ Все конденсаторы соединены параллельно

$C_{общ} = C_1 + C_2 + C_3 = 10 + 20 + 50 = 80$ мкФ

3️⃣ C₁ и C₂ параллельно, затем последовательно с C₃

Сначала найдем эквивалентную ёмкость параллельного соединения C₁ и C₂:
$C_{12} = C_1 + C_2 = 10 + 20 = 30$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость последовательного соединения C₁₂ и C₃:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{30} + \frac{1}{50}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{5}{150} + \frac{3}{150} = \frac{8}{150}$

Упростим дробь:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{8}{150} = \frac{8}{150}$

Отсюда:
$C_{общ} = \frac{150}{8} = 18.75$ мкФ

После округления до целых: 19 мкФ

4️⃣ C₁ и C₃ параллельно, затем последовательно с C₂

Сначала найдем эквивалентную ёмкость параллельного соединения C₁ и C₃:
$C_{13} = C_1 + C_3 = 10 + 50 = 60$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость последовательного соединения C₁₃ и C₂:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{13}} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{60} + \frac{1}{20}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{60} + \frac{3}{60} = \frac{4}{60}$

Упростим дробь:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$

Отсюда:
$C_{общ} = 15$ мкФ

5️⃣ C₂ и C₃ параллельно, затем последовательно с C₁

Сначала найдем эквивалентную ёмкость параллельного соединения C₂ и C₃:
$C_{23} = C_2 + C_3 = 20 + 50 = 70$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость последовательного соединения C₂₃ и C₁:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_{23}} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{70} + \frac{1}{10}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{70} + \frac{7}{70} = \frac{8}{70}$

Отсюда:
$C_{общ} = \frac{70}{8} = 8.75$ мкФ

После округления до целых: 9 мкФ

6️⃣ C₁ и C₂ последовательно, затем параллельно с C₃

Сначала найдем эквивалентную ёмкость последовательного соединения C₁ и C₂:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{2}{20} + \frac{1}{20} = \frac{3}{20}$

Отсюда:
$C_{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость параллельного соединения C₁₂ и C₃:
$C_{общ} = C_{12} + C_3 = \frac{20}{3} + 50 = \frac{20 + 150}{3} = \frac{170}{3} \approx 56.67$ мкФ

После округления до целых: 57 мкФ

7️⃣ C₁ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₂

Сначала найдем эквивалентную ёмкость последовательного соединения C₁ и C₃:
$\frac{1}{C_{13}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{50}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{13}} = \frac{5}{50} + \frac{1}{50} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25}$

Отсюда:
$C_{13} = \frac{25}{3} \approx 8.33$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость параллельного соединения C₁₃ и C₂:
$C_{общ} = C_{13} + C_2 = \frac{25}{3} + 20 = \frac{25 + 60}{3} = \frac{85}{3} \approx 28.33$ мкФ

После округления до целых: 28 мкФ

8️⃣ C₂ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₁

Сначала найдем эквивалентную ёмкость последовательного соединения C₂ и C₃:
$\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{20} + \frac{1}{50}$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{C_{23}} = \frac{5}{100} + \frac{2}{100} = \frac{7}{100}$

Отсюда:
$C_{23} = \frac{100}{7} \approx 14.29$ мкФ

Теперь найдем общую ёмкость параллельного соединения C₂₃ и C₁:
$C_{общ} = C_{23} + C_1 = \frac{100}{7} + 10 = \frac{100 + 70}{7} = \frac{170}{7} \approx 24.29$ мкФ

После округления до целых: 24 мкФ

Проверка результатов

Проверим все полученные значения ещё раз:

1. Все последовательно: $\frac{100}{17} \approx 5.88$ мкФ → 6 мкФ
2. Все параллельно: $10 + 20 + 50 = 80$ мкФ → 80 мкФ
3. C₁+C₂ параллельно, затем последовательно с C₃: $\frac{150}{8} = 18.75$ мкФ → 19 мкФ
4. C₁+C₃ параллельно, затем последовательно с C₂: $15$ мкФ → 15 мкФ
5. C₂+C₃ параллельно, затем последовательно с C₁: $\frac{70}{8} = 8.75$ мкФ → 9 мкФ
6. C₁ и C₂ последовательно, затем параллельно с C₃: $\frac{170}{3} \approx 56.67$ мкФ → 57 мкФ
7. C₁ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₂: $\frac{85}{3} \approx 28.33$ мкФ → 28 мкФ
8. C₂ и C₃ последовательно, затем параллельно с C₁: $\frac{170}{7} \approx 24.29$ мкФ → 24 мкФ

Ответ:

Полученные значения ёмкостей в порядке возрастания (округлённые до целых мкФ):
6, 9, 15, 19, 24, 28, 57, 80 мкФ

Задание

Дана последовательность $x_n = ((-1)^n + 1) n^2$. Утверждается, что при нечетных $n$ она принимает значение 0. Верно ли, что последовательность $(x_n)$ ограничена? Ответ обоснуйте.

Что значит "ограниченная последовательность"? 🤔

Последовательность $(x_n)$ называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что $|x_n| \le M$ для всех натуральных номеров $n$. Это значит, что все члены последовательности лежат в некотором интервале $[-M, M]$.

Шаг 1: Анализ последовательности при нечетных n 📝

Пусть $n$ - нечетное число. Тогда $n = 2k - 1$ для некоторого натурального $k \ge 1$.
В этом случае $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$.
Подставим это в формулу для $x_n$:
$x_n = ((-1) + 1) n^2 = 0 \cdot n^2 = 0$.

Итак, для всех нечетных $n$ (1, 3, 5, ...) члены последовательности равны 0. Это совпадает с условием задачи. 👍

Шаг 2: Анализ последовательности при четных n 📊

Пусть $n$ - четное число. Тогда $n = 2k$ для некоторого натурального $k \ge 1$.
В этом случае $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$.
Подставим это в формулу для $x_n$:
$x_n = (1 + 1) n^2 = 2 n^2$.

Таким образом, для четных $n$ (2, 4, 6, ...) члены последовательности равны $2n^2$.

Выпишем несколько первых членов последовательности:
$x_1 = 0$
$x_2 = 2 \cdot 2^2 = 8$
$x_3 = 0$
$x_4 = 2 \cdot 4^2 = 32$
$x_5 = 0$
$x_6 = 2 \cdot 6^2 = 72$
$x_7 = 0$
$x_8 = 2 \cdot 8^2 = 128$
...

Шаг 3: Проверка на ограниченность 🧐

Мы видим, что члены последовательности с четными номерами $n=2k$ равны $x_{2k} = 2(2k)^2 = 8k^2$.

С увеличением $k$ (а значит, и с увеличением четного $n$), значения $x_n$ становятся сколь угодно большими:
$k=1 \implies n=2, x_2 = 8$
$k=2 \implies n=4, x_4 = 32$
$k=3 \implies n=6, x_6 = 72$
$k \to \infty \implies x_{2k} = 8k^2 \to \infty$

Это означает, что не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всех членов последовательности $x_n$. Последовательность не ограничена сверху. 📈

Хотя последовательность ограничена снизу (все $x_n \ge 0$), для того чтобы считаться ограниченной, она должна быть ограничена и сверху, и снизу.

Вывод:

Утверждение, что последовательность $(x_n)$ ограничена, неверно. ❌

Обоснование:
Последовательность не ограничена сверху, так как подпоследовательность ее членов с четными номерами $x_{2k} = 2(2k)^2 = 8k^2$ стремится к бесконечности при $k \to \infty$.

Задание

Известно, что последовательность $(y_n)$ ограничена, и $0 \le x_n \le y_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Покажите, что $(x_n)$ также ограничена.

Решение

💡 Определение ограниченной последовательности:
Последовательность $(a_n)$ называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что $m \le a_n \le M$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Другими словами, последовательность ограничена, если она ограничена и снизу, и сверху.

Шаг 1: Анализ условия
Нам дано:
1. Последовательность $(y_n)$ ограничена. Это означает, что существуют числа $m_y$ и $M_y$ такие, что $m_y \le y_n \le M_y$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
2. Для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $0 \le x_n \le y_n$.

Шаг 2: Доказательство ограниченности $(x_n)$ снизу
Из условия $0 \le x_n \le y_n$ сразу следует, что $x_n \ge 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Таким образом, последовательность $(x_n)$ ограничена снизу числом $m_x = 0$. ✅

Шаг 3: Доказательство ограниченности $(x_n)$ сверху
Поскольку последовательность $(y_n)$ ограничена, она ограничена сверху. То есть существует число $M_y$ такое, что $y_n \le M_y$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Из условия $x_n \le y_n$ и того, что $y_n \le M_y$, по свойству транзитивности неравенств получаем:
$x_n \le y_n \le M_y$
Следовательно, $x_n \le M_y$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Таким образом, последовательность $(x_n)$ ограничена сверху числом $M_x = M_y$. ✅

Шаг 4: Вывод
Мы показали, что последовательность $(x_n)$ ограничена снизу числом 0 и ограничена сверху числом $M_y$. То есть, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство:
$0 \le x_n \le M_y$
Это означает, что последовательность $(x_n)$ является ограниченной. 🎉

Что и требовалось доказать.

📝 Задание

Часть 1: Запишите условие того, что число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$.

Часть 2: Пользуясь этим определением, покажите, что 1 не является пределом последовательности $(x_n)$, где $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$.

💡 Решение

Часть 1: Определение того, что число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$

Вспомним сначала определение предела последовательности:
Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если для любого положительного числа $\epsilon$ (сколь угодно малого) найдется такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \epsilon$.

На языке кванторов: $\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad |x_n - a| < \epsilon$.

Чтобы записать условие того, что число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$, нужно построить отрицание этого определения. Отрицание строится по правилам:
* $\forall$ заменяется на $\exists$
* $\exists$ заменяется на $\forall$
* Знак неравенства меняется на противоположный ($<$ на $\ge$)

Таким образом, число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$, если существует такое положительное число $\epsilon$, что для любого номера $N$ найдется номер $n > N$, для которого выполняется неравенство $|x_n - a| \ge \epsilon$.

На языке кванторов: $a \neq \lim_{n \to \infty} x_n \iff \exists \epsilon > 0 \quad \forall N \in \mathbb{N} \quad \exists n > N \quad |x_n - a| \ge \epsilon$.

Часть 2: Доказательство, что 1 не является пределом $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$

Нам нужно показать, что $a=1$ не является пределом последовательности $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$.
Воспользуемся определением из Части 1. Мы должны найти такое $\epsilon > 0$, чтобы для любого натурального $N$ нашелся номер $n > N$, для которого $|x_n - 1| \ge \epsilon$.

1. Рассмотрим члены последовательности $(x_n)$:

   • Если $n$ - четное число ($n=2k$, где $k \in \mathbb{N}$), то $(-1)^n = (-1)^{2k} = 1$. Тогда $x_n = x_{2k} = \frac{1 + 1}{2} = 1$.
   • Если $n$ - нечетное число ($n=2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$), то $(-1)^n = (-1)^{2k-1} = -1$. Тогда $x_n = x_{2k-1} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
     Таким образом, последовательность $(x_n)$ имеет вид: $0, 1, 0, 1, 0, 1, ...$

2. Выберем $\epsilon$:
   Нам нужно найти $\epsilon > 0$ такое, что неравенство $|x_n - 1| \ge \epsilon$ выполняется для бесконечно многих $n$.
   Рассчитаем $|x_n - 1|$:

   • Если $n$ - четное, $|x_n - 1| = |1 - 1| = 0$.
   • Если $n$ - нечетное, $|x_n - 1| = |0 - 1| = |-1| = 1$.
     Мы видим, что для всех нечетных $n$, значение $|x_n - 1|$ равно 1. Выберем $\epsilon$, которое меньше или равно 1. Например, возьмем $\epsilon = \frac{1}{2}$.

3. Проверим условие для выбранного $\epsilon = \frac{1}{2}$:
   Нам нужно показать, что для любого натурального $N$ найдется номер $n > N$, такой что $|x_n - 1| \ge \frac{1}{2}$.

   • Возьмем произвольное натуральное число $N$.
   • Нам нужно найти $n > N$, для которого $|x_n - 1| \ge \frac{1}{2}$.
   • Мы знаем, что для любого нечетного $n$, $|x_n - 1| = 1$.
   • Всегда можно найти нечетное число $n$, которое больше $N$. Например:
     • Если $N$ четное, то $n = N+1$ - нечетное и $n > N$.
     • Если $N$ нечетное, то $n = N+2$ - нечетное и $n > N$.
   • Для такого нечетного $n > N$ имеем $x_n = 0$, и $|x_n - 1| = |0 - 1| = 1$.
   • Поскольку $1 \ge \frac{1}{2}$, то для выбранного нами $\epsilon = \frac{1}{2}$ и любого $N$ мы нашли $n > N$ (любое нечетное число больше $N$), для которого выполняется условие $|x_n - 1| \ge \epsilon$.

4. Вывод:
   Мы показали, что существует $\epsilon = \frac{1}{2} > 0$ такое, что для любого $N \in \mathbb{N}$ найдется $n > N$ (а именно, любое нечетное $n > N$), для которого $|x_n - 1| \ge \epsilon$. Следовательно, по определению, число $a=1$ не является пределом последовательности $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$.

📊 Пояснение к графику:
На графике показаны первые 15 членов последовательности $x_n$ (синие точки). Она принимает значения 0 и 1.
Красная пунктирная линия показывает предполагаемый предел $a=1$.
Зеленые пунктирные линии показывают границы $\epsilon$-окрестности для $\epsilon = 0.5$. Это интервал $(a-\epsilon, a+\epsilon) = (0.5, 1.5)$, закрашенный светло-зеленым.

Видно, что все члены последовательности со значением $x_n = 0$ (при нечетных $n$) лежат вне этой $\epsilon$-окрестности. Поскольку таких членов бесконечно много (они встречаются при $n=1, 3, 5, ...$), то для выбранного $\epsilon = 0.5$ невозможно найти номер $N$, после которого все члены последовательности попадут в окрестность. Это и означает, что 1 не является пределом данной последовательности.

Задание а)

❓ Вопрос: Верно ли, что если последовательность $(x_n y_n)$ расходится, то обе последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ расходятся?

💡 Ответ: Нет, это утверждение неверно.

🤔 Обоснование:
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим последовательности:
* $(x_n) = n$. Эта последовательность расходится (стремится к бесконечности).
* $(y_n) = 2$. Эта последовательность сходится к числу 2.

Найдем произведение этих последовательностей:
* $(x_n y_n) = n \cdot 2 = 2n$.

Последовательность $(x_n y_n) = (2n)$ расходится (стремится к бесконечности).

Таким образом, мы имеем случай, когда произведение $(x_n y_n)$ расходится, но одна из последовательностей ($(y_n)$) сходится. Следовательно, не обязательно, чтобы обе последовательности расходились. ❌

Задание б)

❓ Вопрос: Верно ли, что если последовательность $(x_n y_n)$ расходится, то хотя бы одна из последовательностей $(x_n)$, $(y_n)$ расходится?

💡 Ответ: Да, это утверждение верно. ✅

🤔 Обоснование:
Докажем это утверждение методом от противного.

1. Предположим обратное: Пусть обе последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ сходятся.

   • Пусть $\lim_{n \to \infty} x_n = L$, где $L$ - конечное число.
   • Пусть $\lim_{n \to \infty} y_n = M$, где $M$ - конечное число.

2. Используем теорему о пределе произведения: Если две последовательности сходятся, то их произведение также сходится, и предел произведения равен произведению пределов.

   • Тогда $\lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = L \cdot M$.
   • Это означает, что последовательность $(x_n y_n)$ сходится к $L \cdot M$.

3. Противоречие: Полученный вывод (что $(x_n y_n)$ сходится) противоречит условию задачи, в котором сказано, что последовательность $(x_n y_n)$ расходится.

4. Заключение: Наше первоначальное предположение о том, что обе последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ сходятся, неверно. Следовательно, хотя бы одна из них должна расходиться.

Задание

Условие:
Пусть $\lim_{n \to \infty} x_n = c$ и $x_n \le y_n \le x_n + \frac{1}{n}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Пользуясь свойствами предела, покажите, что $\lim_{n \to \infty} y_n = c$.

Решение:

Это классическая задача на применение Теоремы о двух милиционерах (или Теоремы о сжатой последовательности).

1. Дано:

   • Последовательность $x_n$ сходится к $c$: $\lim_{n \to \infty} x_n = c$.
   • Для всех натуральных $n$ выполняется двойное неравенство: $x_n \le y_n \le x_n + \frac{1}{n}$.

2. Найдем предел верхней границы:
   Рассмотрим последовательность $z_n = x_n + \frac{1}{n}$. Найдем ее предел при $n \to \infty$.
   Используя свойство предела суммы, получаем:
   $\lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} (x_n + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$

3. Вычислим пределы:

   • По условию, $\lim_{n \to \infty} x_n = c$.
   • Известно, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

4. Подставим значения:
   $\lim_{n \to \infty} z_n = c + 0 = c$.

5. Применим Теорему о двух милиционерах:
   Мы имеем три последовательности $x_n$, $y_n$, и $z_n = x_n + \frac{1}{n}$, такие что:

   • $x_n \le y_n \le z_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
   • Предел нижней границы: $\lim_{n \to \infty} x_n = c$.
   • Предел верхней границы: $\lim_{n \to \infty} z_n = c$.

   Согласно Теореме о двух милиционерах, если последовательность $y_n$ зажата между двумя последовательностями $x_n$ и $z_n$, которые сходятся к одному и тому же пределу $c$, то последовательность $y_n$ также сходится к этому пределу.

6. Вывод:
   Следовательно, $\lim_{n \to \infty} y_n = c$.

а) Верно ли, что последовательность $(x_n)$ убывает?

Дано:
1. $x_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$
2. $\frac{x_{n+1}}{x_n} < \frac{1}{2}$ для всех $n \in \mathbb{N}$

Нужно определить, является ли последовательность $(x_n)$ убывающей.

Решение:
Последовательность $(x_n)$ называется убывающей, если $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

1. Возьмем данное неравенство: $\frac{x_{n+1}}{x_n} < \frac{1}{2}$.
2. Поскольку $x_n > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x_n$, не меняя знака неравенства:
   $x_{n+1} < \frac{1}{2} x_n$
3. Так как $\frac{1}{2} < 1$ и $x_n > 0$, то $\frac{1}{2} x_n < 1 \cdot x_n = x_n$.
4. Объединяя неравенства из шагов 2 и 3, получаем:
   $x_{n+1} < \frac{1}{2} x_n < x_n$
5. Следовательно, $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Вывод:
Поскольку $x_{n+1} < x_n$ для всех натуральных $n$, последовательность $(x_n)$ является убывающей. ✅

Ответ: Да, верно.

б) Верно ли, что последовательность $(x_n)$ сходится?

Дано:
1. $(x_n)$ - последовательность.
2. Из пункта а) известно, что $(x_n)$ убывает.
3. Из условия $x_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Нужно определить, сходится ли последовательность $(x_n)$.

Решение:
1. Монотонность: Из пункта а) мы установили, что последовательность $(x_n)$ является убывающей.
2. Ограниченность: По условию $x_n > 0$ для всех $n$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0.
3. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности: Любая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
* Наша последовательность $(x_n)$ монотонна (убывает).
* Наша последовательность $(x_n)$ ограничена (снизу числом 0).
4. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, последовательность $(x_n)$ сходится. 🏁

Дополнительно (нахождение предела):
Пусть $\lim_{n \to \infty} x_n = L$. Поскольку $x_n > 0$, то $L \ge 0$.
Из неравенства $x_{n+1} < \frac{1}{2} x_n$ перейдем к пределу при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} \le \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} x_n)$
$L \le \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} x_n$
$L \le \frac{1}{2} L$
$L - \frac{1}{2} L \le 0$
$\frac{1}{2} L \le 0$
$L \le 0$

Учитывая, что $L \ge 0$ и $L \le 0$, единственно возможное значение предела $L = 0$.

Вывод:
Последовательность $(x_n)$ является убывающей и ограниченной снизу, следовательно, она сходится (к 0).

Ответ: Да, верно.

Задание

Известно, что $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = 0$. Верно ли, что последовательность $(x_n)$ сходится? Ответ обоснуйте.

Решение

Утверждение неверно.

Условие $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = 0$ является необходимым, но не достаточным условием сходимости последовательности $(x_n)$.

• Если последовательность $(x_n)$ сходится к некоторому пределу $L$, то $\lim_{n \to \infty} x_n = L$ и $\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = L$. Тогда $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} - \lim_{n \to \infty} x_n = L - L = 0$. То есть, для любой сходящейся последовательности это условие выполняется.

• Однако, обратное неверно. Существуют расходящиеся последовательности, для которых это условие выполняется.

Контрпример:

Рассмотрим последовательность $x_n$, заданную как сумма первых $n$ членов гармонического ряда:
$x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

Найдем разность соседних членов:
$x_{n+1} - x_n = \left( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \right) - \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{n+1}$

Найдем предел этой разности:
$\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$

Таким образом, условие $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = 0$ для этой последовательности выполняется.

Однако, последовательность $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ является последовательностью частичных сумм гармонического ряда, который, как известно, расходится.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = +\infty$

Вывод:
Мы привели пример последовательности $(x_n)$, для которой $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = 0$, но сама последовательность $(x_n)$ расходится. Следовательно, утверждение неверно. 🤷‍♀️

Задание 1: Найти значение f(0)

Дано неравенство, которому удовлетворяет функция $f(x)$ при всех $x \in \mathbb{R}$:
$$-x^2 \le f(x) \le x^2$$

Чтобы найти значение $f(0)$, подставим $x = 0$ в данное неравенство:
$$-0^2 \le f(0) \le 0^2$$
$$0 \le f(0) \le 0$$

Из этого двойного неравенства следует, что единственное возможное значение для $f(0)$ — это 0.

Ответ: $f(0) = 0$.

Задание 2: Доказать, что функция f дифференцируема в точке x = 0 и найти f'(0)

Чтобы доказать дифференцируемость функции $f(x)$ в точке $x = 0$, нам нужно показать, что существует предел производной по определению:
$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$$

Из Задания 1 мы знаем, что $f(0) = 0$. Подставим это в формулу:
$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$$

Теперь воспользуемся данным неравенством $-x^2 \le f(x) \le x^2$. Заменим $x$ на $h$:
$$-h^2 \le f(h) \le h^2$$

Рассмотрим предел $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$. Разделим неравенство на $h$. Нужно рассмотреть два случая:

1. Случай $h > 0$:
   При делении на положительное число $h$ знаки неравенства сохраняются:
   $$-\frac{h^2}{h} \le \frac{f(h)}{h} \le \frac{h^2}{h}$$
   $$-h \le \frac{f(h)}{h} \le h$$
   Найдем пределы левой и правой частей при $h \to 0^+$:
   $$\lim_{h \to 0^+} (-h) = 0$$
   $$\lim_{h \to 0^+} h = 0$$
   По теореме о двух милиционерах (Squeeze Theorem), если функция зажата между двумя функциями, имеющими одинаковый предел, то и сама функция имеет тот же предел:
   $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h} = 0$$

2. Случай $h < 0$:
   При делении на отрицательное число $h$ знаки неравенства меняются на противоположные:
   $$\frac{-h^2}{h} \ge \frac{f(h)}{h} \ge \frac{h^2}{h}$$
   $$-h \ge \frac{f(h)}{h} \ge h$$
   Перепишем в привычном виде:
   $$h \le \frac{f(h)}{h} \le -h$$
   Найдем пределы левой и правой частей при $h \to 0^-$:
   $$\lim_{h \to 0^-} h = 0$$
   $$\lim_{h \to 0^-} (-h) = 0$$
   Снова по теореме о двух милиционерах:
   $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)}{h} = 0$$

Поскольку правый и левый пределы равны 0, то и общий предел существует и равен 0:
$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$$

Вывод:
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x = 0$, и её производная в этой точке равна $f'(0) = 0$.