Задание 1

Дана функция $y=\log_2 x$ и известно, что $y(4)=-\frac{1}{2}$. Найти $y(2)$.

Решение:

1) Используем свойства логарифмов. Из условия $y(4)=-\frac{1}{2}$ имеем:
* $\log_2 4 = -\frac{1}{2}$

2) Проверим это равенство:
* $2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ≈ 0.707$
* $4 = 2^2$
* Действительно, $\log_2 4 = 2$, а не $-\frac{1}{2}$

3) Так как $y(4)=-\frac{1}{2}$, то данная функция не является обычным логарифмом, а имеет вид:
* $y = -\frac{1}{2}\log_2 x$

4) Теперь найдем $y(2)$:
* $y(2) = -\frac{1}{2}\log_2 2$
* $\log_2 2 = 1$
* $y(2) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $y(2) = -\frac{1}{2}$

Задание 2

Найти область определения функции $y=\log_2(x^2-5x)$

Решение:

1) Для существования логарифма необходимо, чтобы подлогарифмическое выражение было положительно:
* $x^2-5x > 0$

2) Решаем квадратное неравенство:
* $x^2-5x > 0$
* $x(x-5) > 0$
* $x < 0$ или $x > 5$

3) Таким образом, область определения функции - это объединение интервалов:
* $x \in (-\infty;0) \cup (5;+\infty)$

Ответ: $(-\infty;0) \cup (5;+\infty)$