{
"subject": "Алгебра",
"lang": "ru",
"grade": 10,
"url_subject": "math",
"title": "Решение показательных уравнений и неравенств",
"description": "Подробное решение задач на показательные уравнения и неравенства разного уровня сложности, включая системы уравнений",
"keywords": ["показательные уравнения", "показательные неравенства", "системы показательных уравнений", "степени", "логарифмы", "алгебра"]
}

Давайте решим эти задания пошагово! 📝

1) $2^{x+1} = 4$
Решение:
* $4 = 2^2$
* $2^{x+1} = 2^2$
* По свойству показательной функции: если $2^a = 2^b$, то $a = b$
* $x + 1 = 2$
* $x = 1$
Ответ: 1

2) $3^{-1-x} = (\frac{1}{3})^{2x+3}$
Решение:
* $(\frac{1}{3})^{2x+3} = 3^{-(2x+3)}$
* $3^{-1-x} = 3^{-(2x+3)}$
* По свойству показательной функции приравниваем показатели:
* $-1-x = -(2x+3)$
* $-1-x = -2x-3$
* $2x-x = -3+1$
* $x = -2$
Ответ: -2

3) $0,5^{x^2-5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$
Решение:
* $\sqrt{0,5} = 0,5^{\frac{1}{2}}$
* $0,5^{x^2-5,5} \cdot 0,5^{\frac{1}{2}} = 32$
* $0,5^{x^2-5,5+\frac{1}{2}} = 32$
* $0,5^{x^2-5} = 32$
* $32 = 2^5$
* $0,5^{x^2-5} = 2^5$
* $2^{-(x^2-5)} = 2^5$
* $-(x^2-5) = 5$
* $-x^2+5 = 5$
* $-x^2 = 0$
* $x^2 = 0$
* $x = 0$
Ответ: 0

Продолжим решение остальных задач. Скажите, какие именно задачи вызывают у вас затруднения, и я подробно объясню их решение! 😊

Продолжаем решение! 📚

4) $3^x - 3^{x+3} = -78$
Решение:
* Вынесем общий множитель $3^x$
* $3^x(1 - 3^3) = -78$
* $3^x(1 - 27) = -78$
* $3^x(-26) = -78$
* $3^x = 3$
* $x = 1$
Ответ: 1

5) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
Решение:
* Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$
* $3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
* Пусть $3^x = t$, тогда:
* $3t^2 - 10t + 3 = 0$
* По формуле дискриминанта:
* $D = 100 - 36 = 64$
* $t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$
* $t_1 = 3$, $t_2 = \frac{1}{3}$
* $3^x = 3$ или $3^x = \frac{1}{3}$
* $x = 1$ или $x = -1$
Ответ: {1; -1}

6) $3^{2x-4} \leq 27$
Решение:
* $27 = 3^3$
* $3^{2x-4} \leq 3^3$
* По свойствам показательной функции:
* $2x-4 \leq 3$
* $2x \leq 7$
* $x \leq \frac{7}{2}$
Ответ: $(-\infty; \frac{7}{2}]$

7) $25^{-x+3} \geq (\frac{1}{5})^{3x-1}$
Решение:
* $25 = 5^2$, поэтому $25^{-x+3} = (5^2)^{-x+3} = 5^{-2x+6}$
* $(\frac{1}{5})^{3x-1} = 5^{-(3x-1)} = 5^{-3x+1}$
* $5^{-2x+6} \geq 5^{-3x+1}$
* По свойствам показательной функции:
* $-2x+6 \geq -3x+1$
* $-2x+3x \geq -6+1$
* $x \geq -5$
Ответ: $[-5; +\infty)$

8) $7^{x^2-5x} < (\frac{1}{7})^6$
Решение:
* $7^{x^2-5x} < 7^{-6}$
* По свойствам показательной функции:
* $x^2-5x < -6$
* $x^2-5x+6 > 0$
* $(x-2)(x-3) > 0$
* $x < 2$ или $x > 3$
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$

9) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} \leq \frac{8}{3}$
Решение:
* Вынесем общий множитель $3^{2x-3}$
* $3^{2x-1} - 3^{2x-3} = 3^{2x-3}(3^2 - 1) = 3^{2x-3} \cdot 8 \leq \frac{8}{3}$
* $3^{2x-3} \leq \frac{1}{3}$
* $2x-3 \leq -1$
* $2x \leq 2$
* $x \leq 1$
Ответ: $(-\infty; 1]$

10) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$
Решение:
* Пусть $3^x = t$, тогда:
* $t^2 - 4t + 3 \leq 0$
* $(t-1)(t-3) \leq 0$
* $1 \leq t \leq 3$
* $1 \leq 3^x \leq 3$
* $0 \leq x \leq 1$
Ответ: $[0; 1]$

11) $\begin{cases} 0,5^{3x} \cdot 0,5^y = 0,5 \ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases}$
Решение:
* Из первого уравнения:
* $0,5^{3x+y} = 0,5$
* $3x+y = 1$ (1)
* Из второго уравнения:
* $2^{3x-y} = 32 = 2^5$
* $3x-y = 5$ (2)
* Решаем систему уравнений:
* Из (1): $y = 1-3x$
* Подставляем в (2):
* $3x-(1-3x) = 5$
* $6x-1 = 5$
* $6x = 6$
* $x = 1$
* $y = 1-3 = -2$
Ответ: $x = 1$, $y = -2$

Я подробно расписал решение каждой задачи. Если какие-то моменты остались непонятными, я с радостью объясню подробнее! 😊