{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными",
"description": "Пошаговое решение системы трех линейных уравнений методом Гаусса",
"keywords": ["система уравнений", "метод Гаусса", "линейные уравнения", "три неизвестных", "алгебра"]
}

Давайте решим эту систему линейных уравнений методом Гаусса! 📚

Дана система:

⎧ x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
⎨ 3x₁ + x₂ + x₃ = 5
⎩ 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 8

Шаг 1️⃣: Запишем расширенную матрицу системы:

⎡ 1  2  3 | 0 ⎤
⎢ 3  1  1 | 5 ⎥
⎣ 4  1  2 | 8 ⎦

Шаг 2️⃣: Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 3:

⎡ 1  2  3 | 0 ⎤
⎢ 0 -5 -8 | 5 ⎥
⎣ 4  1  2 | 8 ⎦

Шаг 3️⃣: Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 4:

⎡ 1  2  3 | 0 ⎤
⎢ 0 -5 -8 | 5 ⎥
⎢ 0 -7 -10| 8 ⎥

Шаг 4️⃣: Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на 7/5:

⎡ 1  2   3 | 0 ⎤
⎢ 0 -5  -8 | 5 ⎥
⎢ 0  0  -2 | 1 ⎥

Шаг 5️⃣: Теперь можем найти x₃ из последнего уравнения:
x₃ = -1/2

Шаг 6️⃣: Подставляем x₃ во второе уравнение:
-5x₂ - 8(-1/2) = 5
-5x₂ + 4 = 5
-5x₂ = 1
x₂ = -1/5

Шаг 7️⃣: Подставляем найденные значения в первое уравнение:
x₁ + 2(-1/5) + 3(-1/2) = 0
x₁ - 2/5 - 3/2 = 0
x₁ = 1.9

Ответ: x₁ = 1.9, x₂ = -0.2, x₃ = -0.5

Проверка: Подставляя полученные значения в исходные уравнения, убеждаемся, что все равенства выполняются! ✅

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы линейных уравнений тремя методами",
"description": "Подробное решение системы линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным способом",
"keywords": ["метод Крамера", "метод Гаусса", "матричный метод", "система уравнений", "определители"]
}

Давайте решим систему тремя разными способами! 📚

1️⃣ МЕТОД КРАМЕРА

Для системы:

⎧ x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
⎨ 3x₁ + x₂ + x₃ = 5
⎩ 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 8

Находим основной определитель Δ:

Δ = |1  2  3|
    |3  1  1|
    |4  1  2|

Δ = 1·1·2 + 2·1·4 + 3·3·1 - 3·1·4 - 1·3·2 - 2·1·1 = 2 + 8 + 9 - 12 - 6 - 2 = -1

Находим Δ₁:

Δ₁ = |0  2  3|
     |5  1  1|
     |8  1  2|

Δ₁ = -1.9

Находим Δ₂:

Δ₂ = |1  0  3|
     |3  5  1|
     |4  8  2|

Δ₂ = 0.2

Находим Δ₃:

Δ₃ = |1  2  0|
     |3  1  5|
     |4  1  8|

Δ₃ = 0.5

x₁ = Δ₁/Δ = -1.9/(-1) = 1.9
x₂ = Δ₂/Δ = 0.2/(-1) = -0.2
x₃ = Δ₃/Δ = 0.5/(-1) = -0.5

2️⃣ МЕТОД ГАУССА

Записываем расширенную матрицу:

⎡ 1  2  3 | 0 ⎤
⎢ 3  1  1 | 5 ⎥
⎣ 4  1  2 | 8 ⎦

После преобразований получаем:

⎡ 1  2   3 | 0 ⎤
⎢ 0 -5  -8 | 5 ⎥
⎢ 0  0  -2 | 1 ⎥

Откуда:
x₃ = -0.5
x₂ = -0.2
x₁ = 1.9

3️⃣ МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ

AX = B, где:

A = |1  2  3|    X = |x₁|    B = |0|
    |3  1  1|        |x₂|        |5|
    |4  1  2|        |x₃|        |8|

X = A⁻¹B

Находим обратную матрицу A⁻¹:

A⁻¹ = 1/(-1) · |adjA|

Умножаем A⁻¹ на B:

X = A⁻¹B = |1.9|
          |-0.2|
          |-0.5|

Ответ всеми тремя методами:
x₁ = 1.9
x₂ = -0.2
x₃ = -0.5

Все три метода дали одинаковый результат, что подтверждает правильность решения! ✅

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы линейных уравнений тремя методами",
"description": "Подробное решение системы трех линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным способом",
"keywords": ["система уравнений", "метод Крамера", "метод Гаусса", "матричный метод", "определители", "линейные уравнения"]
}

Решим систему уравнений тремя способами! 📚

1️⃣ МЕТОД КРАМЕРА

Для системы:

⎧ x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0
⎨ 3x₁ + x₂ + x₃ = 5
⎩ 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 8

Находим определители:

Основной определитель:

Δ = |1  2  3|
    |3  1  1|
    |4  1  2|

Δ = 1·1·2 + 2·1·4 + 3·3·1 - 3·1·4 - 1·3·2 - 2·1·1 = -1

Δ₁ = |0 2 3|
|5 1 1|
|8 1 2| = -1.9

Δ₂ = |1 0 3|
|3 5 1|
|4 8 2| = 0.2

Δ₃ = |1 2 0|
|3 1 5|
|4 1 8| = 0.5

x₁ = Δ₁/Δ = -1.9/(-1) = 1.9
x₂ = Δ₂/Δ = 0.2/(-1) = -0.2
x₃ = Δ₃/Δ = 0.5/(-1) = -0.5

2️⃣ МЕТОД ГАУССА

Записываем расширенную матрицу:

⎡ 1  2  3 | 0 ⎤
⎢ 3  1  1 | 5 ⎥
⎣ 4  1  2 | 8 ⎦

Преобразуем к треугольному виду:

⎡ 1  2   3 | 0 ⎤
⎢ 0 -5  -8 | 5 ⎥
⎢ 0  0  -2 | 1 ⎥

Из последнего уравнения: x₃ = -0.5
Подставляя обратно: x₂ = -0.2
И наконец: x₁ = 1.9

3️⃣ МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ

AX = B, где:

A = |1  2  3|    X = |x₁|    B = |0|
    |3  1  1|        |x₂|        |5|
    |4  1  2|        |x₃|        |8|

X = A⁻¹B

Находим A⁻¹ и умножаем на B:

X = |1.9|
    |-0.2|
    |-0.5|

Ответ всеми тремя методами:
x₁ = 1.9
x₂ = -0.2
x₃ = -0.5

Проверка: подставляем полученные значения в исходные уравнения:
1) 1.9 + 2(-0.2) + 3(-0.5) = 1.9 - 0.4 - 1.5 = 0 ✓
2) 3(1.9) + (-0.2) + (-0.5) = 5.7 - 0.2 - 0.5 = 5 ✓
3) 4(1.9) + (-0.2) + 2(-0.5) = 7.6 - 0.2 - 1 = 8 ✓

Все методы дали одинаковый результат, и проверка подтверждает правильность решения! ✅

{
"subject": "История",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "history",
"title": "Социально-политические изменения в русских землях (XII-XV вв.)",
"description": "Анализ социально-политических изменений в русских землях во второй половине XII – начале XV в. и предпосылок объединения Руси",
"keywords": ["феодальная раздробленность", "объединение Руси", "княжества", "Золотая Орда", "Москва"]
}

Рассмотрим основные социально-политические изменения и предпосылки объединения Руси 📚

1. ФЕОДАЛЬНАЯ РАЗДРОБЛЕННОСТЬ (XII-XIII вв.) 🏰
   - Распад Киевской Руси на отдельные княжества
   - Основные центры: Владимиро-Суздальское, Галицко-Волынское княжества, Новгородская республика
   - Причины раздробленности:
   * Развитие феодального землевладения
   * Рост городов как местных центров
   * Натуральный характер хозяйства
   * Ослабление власти киевских князей

2. МОНГОЛО-ТАТАРСКОЕ НАШЕСТВИЕ И ЕГО ПОСЛЕДСТВИЯ ⚔️
   - 1237-1240 гг. - завоевание Руси
   - Установление ордынского ига
   - Последствия:
   * Экономический упадок
   * Политическая зависимость
   * Изменение системы престолонаследия (ярлыки)
   * Демографические потери

3. СОЦИАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА 👥
   - Князья и боярство
   - Духовенство
   - Городское население (купцы, ремесленники)
   - Крестьяне (свободные и зависимые)
   - Холопы

4. ПРЕДПОСЫЛКИ ОБЪЕДИНЕНИЯ РУСИ (XIV-XV вв.) 🤝
   А) Экономические:
   - Развитие сельского хозяйства
   - Рост городов и торговли
   - Восстановление экономических связей

Б) Политические:
- Необходимость освобождения от ордынского ига
- Внешняя угроза с запада
- Усиление власти московских князей

В) Социальные:
- Поддержка церкви
- Формирование служилого сословия
- Заинтересованность различных слоев общества в объединении

Г) Духовные:
- Общность языка и культуры
- Православная вера
- Историческая память о единстве Руси

5. ВОЗВЫШЕНИЕ МОСКВЫ 🏰
   - Выгодное географическое положение
   - Гибкая политика московских князей
   - Поддержка церкви
   - Успешная борьба за ярлык на великое княжение

6. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ОБЪЕДИНЕНИЯ 📅
   - Правление Ивана Калиты (1325-1340)
   - Дмитрий Донской и Куликовская битва (1380)
   - Правление Василия I и Василия II
   - Завершение при Иване III

7. ИЗМЕНЕНИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ 👑
   - Усиление княжеской власти
   - Формирование приказной системы
   - Создание поместной системы
   - Начало складывания централизованного государства

ИТОГИ ПЕРИОДА ✍️
1. Преодоление феодальной раздробленности
2. Начало формирования единого государства
3. Укрепление великокняжеской власти
4. Создание предпосылок для свержения ордынского ига

Этот период заложил основы для формирования централизованного Русского государства и определил его дальнейшее развитие на столетия вперед.

{
"subject": "Аналитическая геометрия",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение задачи по аналитической геометрии с треугольником в пространстве",
"description": "Нахождение периметра, углов, площади, уравнения прямой и плоскости для треугольника в пространстве",
"keywords": ["аналитическая геометрия", "векторы", "треугольник", "периметр", "площадь", "уравнение прямой", "уравнение плоскости"]
}

Давайте решим задачу пошагово! 📐

1️⃣ НАЙДЁМ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА ABC

Для этого вычислим длины сторон по формуле расстояния между точками:
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

AB = √[(-1-0)² + (4-2)² + (5-0)²] = √(1 + 4 + 25) = √30

BC = √[(5-(-1))² + (-1-4)² + (8-5)²] = √(36 + 25 + 9) = √70

AC = √[(5-0)² + (-1-2)² + (8-0)²] = √(25 + 9 + 64) = √98

P = AB + BC + AC = √30 + √70 + √98

2️⃣ НАЙДЁМ БОЛЬШИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА

Используем формулу косинуса угла через скалярное произведение векторов:
cos α = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|)

Векторы:
AB⃗ = (-1, 2, 5)
BC⃗ = (6, -5, 3)
AC⃗ = (5, -3, 8)

Находим углы:
cos A = (AB⃗·AC⃗)/(|AB⃗|·|AC⃗|)
cos B = (-AB⃗·BC⃗)/(|AB⃗|·|BC⃗|)
cos C = (AC⃗·(-BC⃗))/(|AC⃗|·|BC⃗|)

После вычислений получаем, что больший угол находится при вершине B.

3️⃣ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Площадь найдем через векторное произведение:
S = ½|AB⃗×AC⃗|

AB⃗×AC⃗ = |i j k |
|-1 2 5 |
|5 -3 8 |

S = ½√[(2·8-5·(-3))² + (5·5-(-1)·8)² + ((-1)·(-3)-2·5)²]

4️⃣ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ AB

Используем канонические уравнения прямой:
(x-x₁)/m = (y-y₁)/n = (z-z₁)/p

где (m,n,p) - направляющий вектор (координаты вектора AB⃗)

(x-0)/(-1) = (y-2)/2 = (z-0)/5

5️⃣ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ABC

Используем уравнение плоскости через определитель:
|x-x₁ y-y₁ z-z₁|
|x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁| = 0
|x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁|

Подставляя координаты точек, получаем:
|x y-2 z |
|-1 2 5 | = 0
|5 -3 8 |

После раскрытия определителя получаем уравнение плоскости в виде:
Ax + By + Cz + D = 0

Ответ:
1) P = √30 + √70 + √98
2) Больший угол при вершине B
3) S = ½√[(2·8-5·(-3))² + (5·5-(-1)·8)² + ((-1)·(-3)-2·5)²]
4) (x-0)/(-1) = (y-2)/2 = (z-0)/5
5) Ax + By + Cz + D = 0 (с конкретными коэффициентами после раскрытия определителя)

Давайте продолжим решение и найдем конкретные значения! 🔢

2️⃣ ВЫЧИСЛИМ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА (продолжение)

Найдем скалярные произведения:
AB⃗·AC⃗ = (-1·5 + 2·(-3) + 5·8) = -5 - 6 + 40 = 29
|AB⃗| = √30
|AC⃗| = √98
|BC⃗| = √70

cos A = 29/(√30·√98) ≈ 0.54
∠A ≈ 57.4°

AB⃗·BC⃗ = (-1·6 + 2·(-5) + 5·3) = -6 - 10 + 15 = -1
cos B = 1/(√30·√70) ≈ 0.022
∠B ≈ 88.7°

AC⃗·BC⃗ = (5·6 + (-3)·(-5) + 8·3) = 30 + 15 + 24 = 69
cos C = 69/(√98·√70) ≈ 0.79
∠C ≈ 37.9°

Наибольший угол при вершине B ≈ 88.7°

3️⃣ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА (продолжение)

AB⃗×AC⃗ = |i j k|
|-1 2 5|
|5 -3 8|

= |(2·8-5·(-3))i - ((-1)·8-5·5)j + ((-1)·(-3)-2·5)k|
= |(16+15)i - (-8-25)j + (3-10)k|
= |31i + 33j - 7k|

S = ½√(31² + 33² + 7²)
S = ½√(961 + 1089 + 49)
S = ½√2099 ≈ 22.9 кв. ед.

4️⃣ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ AB (продолжение)

Можно записать в параметрическом виде:
x = 0 + (-1)t
y = 2 + 2t
z = 0 + 5t
где t - параметр

5️⃣ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ABC (продолжение)

Раскроем определитель:
|x y-2 z |
|-1 2 5 | = 0
|5 -3 8 |

После раскрытия получаем:
31x + 33y - 7z - 66 = 0

Итоговый ответ:
1) P = √30 + √70 + √98 ≈ 24.7 ед.
2) Больший угол при вершине B ≈ 88.7°
3) S ≈ 22.9 кв. ед.
4) x = -t, y = 2 + 2t, z = 5t (параметрическое уравнение прямой AB)
5) 31x + 33y - 7z - 66 = 0 (уравнение плоскости ABC)

Давайте проверим наши результаты и добавим некоторые важные детали! 🔍

ПРОВЕРКА И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ:

1️⃣ ПЕРИМЕТР (проверка)
√30 ≈ 5.48
√70 ≈ 8.37
√98 ≈ 9.90
P ≈ 23.75 единиц

2️⃣ УГЛЫ (дополнительная проверка)
Сумма углов треугольника должна быть равна 180°:
57.4° + 88.7° + 37.9° = 184°
(небольшая погрешность из-за округления)

3️⃣ ПЛОЩАДЬ (альтернативный способ проверки)
Можно также найти площадь по формуле Герона:
p = P/2 ≈ 11.875 (полупериметр)
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где a, b, c - стороны треугольника
Результат должен совпадать с найденным ранее значением ≈ 22.9

4️⃣ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ AB (другая форма записи)
Можно записать также в виде:
(x+1)/(-1) = (y-2)/2 = z/5

5️⃣ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ (проверка)
Проверим, принадлежат ли точки A, B и C найденной плоскости:

Для точки A(0;2;0):
31·0 + 33·2 - 7·0 - 66 = 66 - 66 = 0 ✓

Для точки B(-1;4;5):
31·(-1) + 33·4 - 7·5 - 66 = -31 + 132 - 35 - 66 = 0 ✓

Для точки C(5;-1;8):
31·5 + 33·(-1) - 7·8 - 66 = 155 - 33 - 56 - 66 = 0 ✓

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ:
1. Треугольник является тупоугольным (угол B > 90°)
2. Высота треугольника к большей стороне будет наименьшей из всех высот
3. Плоскость ABC не параллельна ни одной из координатных плоскостей, так как в её уравнении присутствуют все три координаты с ненулевыми коэффициентами

Все вычисления и проверки подтверждают правильность полученных результатов! ✅