Задание 1а. Вычислите: $3\cos \frac{\pi}{3} - \tg \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \ctg\frac{\pi}{6} + \sin 90°$

Решим это выражение, вычисляя каждое слагаемое по отдельности.

Шаг 1: Найдем значение $\cos \frac{\pi}{3}$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Шаг 2: Найдем значение $\tg \frac{\pi}{4}$
$\tg \frac{\pi}{4} = 1$

Шаг 3: Найдем значение $\ctg\frac{\pi}{6}$
$\ctg\frac{\pi}{6} = \frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Шаг 4: Найдем значение $\sin 90°$
$\sin 90° = 1$

Шаг 5: Подставим найденные значения в исходное выражение
$3\cos \frac{\pi}{3} - \tg \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3} \ctg\frac{\pi}{6} + \sin 90° = 3 \cdot \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} + 1$

$= \frac{3}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$

$= \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

Задание 1б. Вычислите: $\tg (-30°) - \ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos(-\pi)$

Решим это выражение, вычисляя каждое слагаемое по отдельности.

Шаг 1: Найдем значение $\tg (-30°)$
Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$
$\tg (-30°) = -\tg(30°) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 2: Найдем значение $\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
Используем свойство нечетности котангенса: $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$
$\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\ctg\frac{\pi}{3} = -\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 3: Найдем значение $\cos(-\pi)$
Используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$

Шаг 4: Подставим найденные значения в исходное выражение
$\tg (-30°) - \ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos(-\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + (-1)$

$= -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

$= 0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$

Задание 1в. Вычислите: $\sin 1500°$

Для вычисления значения синуса большого угла нужно привести его к острому углу, используя периодичность тригонометрических функций.

Шаг 1: Найдем остаток от деления угла на $360°$ (полный оборот)
$1500° = 360° \cdot 4 + 60° = 1440° + 60°$

Таким образом, $\sin 1500° = \sin 60°$

Шаг 2: Найдем значение $\sin 60°$
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\sin 1500° = \frac{\sqrt{3}}{2}$