Давайте решим эти логарифмические уравнения пошагово! 📝

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение логарифмических уравнений различных типов",
"description": "Подробное пошаговое решение шести логарифмических уравнений с разными основаниями и различной сложности",
"keywords": ["логарифмические уравнения", "логарифмы", "математика", "алгебра", "уравнения с логарифмами", "свойства логарифмов"]
}

1️⃣ $\log_{0,7}(4-7x) = \log_{0,7}(8x-11)$
- При равенстве логарифмов с одинаковым основанием равны их аргументы:
- $4-7x = 8x-11$
- $4+11 = 8x+7x$
- $15 = 15x$
- $x = 1$
- Проверяем ОДЗ: $4-7·1 > 0$ и $8·1-11 > 0$
- $-3 > 0$ - не выполняется
Ответ: корней нет

2️⃣ $\log_7(4x-11) = 2$
- По определению логарифма: $7^2 = 4x-11$
- $49 = 4x-11$
- $4x = 60$
- $x = 15$
- Проверяем ОДЗ: $4·15-11 > 0$
- $49 > 0$ - выполняется
Ответ: 15

3️⃣ $\log_4 x = 3\log_4 3 + \frac{1}{3}\log_4 8$
- $\log_4 8 = \log_4 2^3 = 3\log_4 2 = \frac{3}{2}$
- $\log_4 x = 3\log_4 3 + \frac{1}{3}·\frac{3}{2} = 3\log_4 3 + \frac{1}{2}$
- $x = 4^{3\log_4 3 + \frac{1}{2}} = (4^{\log_4 3})^3·\sqrt{4} = 3^3·2 = 54$
Ответ: 54

4️⃣ $\log_{0,2}(5x-10) = -2$
- По определению логарифма: $(0,2)^{-2} = 5x-10$
- $25 = 5x-10$
- $5x = 35$
- $x = 7$
- Проверяем ОДЗ: $5·7-10 > 0$
- $25 > 0$ - выполняется
Ответ: 7

5️⃣ $\log_2(x-4) + \log_2(2x-1) = \log_2 9$
- По свойству логарифмов: $\log_2((x-4)(2x-1)) = \log_2 9$
- $(x-4)(2x-1) = 9$
- $2x^2-x-8x+4 = 9$
- $2x^2-9x-5 = 0$
- $x = \frac{9 \pm \sqrt{81+40}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{9 \pm 11}{4}$
- $x_1 = 5$, $x_2 = -\frac{1}{2}$
- Проверяем ОДЗ: $x-4 > 0$ и $2x-1 > 0$
При $x = 5$: $1 > 0$ и $9 > 0$ - подходит
При $x = -\frac{1}{2}$: не подходит
Ответ: 5

6️⃣ $2\log_4^2 x + 5\log_4 x - 3 = 0$
- Пусть $\log_4 x = t$, тогда:
- $2t^2 + 5t - 3 = 0$
- $t = \frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$
- $t_1 = \frac{1}{2}$, $t_2 = -3$
- $\log_4 x = \frac{1}{2}$ или $\log_4 x = -3$
- $x = 4^{\frac{1}{2}} = 2$ или $x = 4^{-3} = \frac{1}{64}$
Ответ: $2; \frac{1}{64}$