Задание: Вычислить выражение

$$\frac{\cos(71°) \cdot \cos(10°) + \cos(80°) \cdot \cos(19°)}{2\cos(69°) \cdot \cos(8°) + 2\cos(82°) \cdot \cos(21°)}$$

Решим это тригонометрическое выражение, используя формулы произведения косинусов.

Шаг 1: Применим формулу произведения косинусов

Воспользуемся формулой: $$\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$$

Применим её к числителю:

Для первого слагаемого числителя:
$$\cos(71°) \cdot \cos(10°) = \frac{\cos(71° + 10°) + \cos(71° - 10°)}{2} = \frac{\cos(81°) + \cos(61°)}{2}$$

Для второго слагаемого числителя:
$$\cos(80°) \cdot \cos(19°) = \frac{\cos(80° + 19°) + \cos(80° - 19°)}{2} = \frac{\cos(99°) + \cos(61°)}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Для первого слагаемого знаменателя:
$$2\cos(69°) \cdot \cos(8°) = 2 \cdot \frac{\cos(69° + 8°) + \cos(69° - 8°)}{2} = \cos(77°) + \cos(61°)$$

Для второго слагаемого знаменателя:
$$2\cos(82°) \cdot \cos(21°) = 2 \cdot \frac{\cos(82° + 21°) + \cos(82° - 21°)}{2} = \cos(103°) + \cos(61°)$$

Шаг 3: Объединим результаты

Числитель: $$\frac{\cos(81°) + \cos(61°)}{2} + \frac{\cos(99°) + \cos(61°)}{2} = \frac{\cos(81°) + \cos(99°) + 2\cos(61°)}{2}$$

Знаменатель: $$(\cos(77°) + \cos(61°)) + (\cos(103°) + \cos(61°)) = \cos(77°) + \cos(103°) + 2\cos(61°)$$

Шаг 4: Упростим выражение

Заметим, что $\cos(99°) = -\cos(81°)$ (так как $\cos(180° - \alpha) = -\cos(\alpha)$, а $180° - 99° = 81°$).

Также $\cos(103°) = -\cos(77°)$ (так как $180° - 103° = 77°$).

Подставим эти значения:

Числитель: $$\frac{\cos(81°) - \cos(81°) + 2\cos(61°)}{2} = \frac{2\cos(61°)}{2} = \cos(61°)$$

Знаменатель: $$\cos(77°) - \cos(77°) + 2\cos(61°) = 2\cos(61°)$$

Шаг 5: Получаем ответ

$$\frac{\cos(61°)}{2\cos(61°)} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$