Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу вам решить эти задания.

Задание 1

Решить неравенство: $\sin(\frac{x}{2}) < 0$

• Общий вид решения неравенства $\sin(t) < 0$:

  $\pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
  * В нашем случае $t = \frac{x}{2}$, поэтому:

  $\pi + 2\pi k < \frac{x}{2} < 2\pi + 2\pi k$
  * Умножаем все части неравенства на 2:

  $2\pi + 4\pi k < x < 4\pi + 4\pi k$
  * Ответ: $x \in (2\pi + 4\pi k; 4\pi + 4\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$

Задание 2

Решить уравнение: $\cos(\frac{x}{2}) = 0$

• Общий вид решения уравнения $\cos(t) = 0$:

  $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
  * В нашем случае $t = \frac{x}{2}$, поэтому:

  $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
  * Умножаем обе части уравнения на 2:

  $x = \pi + 2\pi k$
  * Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Задание 3

Решить уравнение: $\sin(3x) = 0.5$

• Общий вид решения уравнения $\sin(t) = a$:

  $t = \arcsin(a) + 2\pi k$ или $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
  * В нашем случае $t = 3x$ и $a = 0.5$, поэтому $\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$:

  $3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $3x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
  * Решаем первое уравнение:

  $3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$
  * Решаем второе уравнение:

  $3x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$
  * Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$ или $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ассистент: Хорошо, сейчас я объясню теоретические основы решения тригонометрических неравенств и уравнений и приведу определения и формулы.

Теоретические основы решения тригонометрических уравнений и неравенств

1. Основные тригонометрические функции

• Синус (sin x): Отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
• Косинус (cos x): Отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
• Тангенс (tg x): Отношение противолежащего катета к прилежащему катету, или $\frac{\sin x}{\cos x}$.
• Котангенс (ctg x): Отношение прилежащего катета к противолежащему катету, или $\frac{\cos x}{\sin x}$.

2. Основные тригонометрические тождества

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• $\tan x \cdot \cot x = 1$
• $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

3. Решение простейших тригонометрических уравнений

• Уравнение $\sin x = a$:

  • Если $|a| > 1$, то решений нет.
  • Если $|a| \leq 1$, то $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  • Частные случаи:
    • $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$
    • $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
    • $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

  • Уравнение $\cos x = a$:

  • Если $|a| > 1$, то решений нет.

  • Если $|a| \leq 1$, то $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  • Частные случаи:
    • $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
    • $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$
    • $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$
  • Уравнение $\tan x = a$:

  $x = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  * Уравнение $\cot x = a$:

  $x = \operatorname{arccot}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств обычно сводится к нахождению интервалов на единичной окружности, где выполняется неравенство.

• Неравенство $\sin x > a$:

  • Если $a \geq 1$, то решений нет.
  • Если $a < -1$, то решением является любое $x$.
  • Если $-1 \leq a < 1$, то $\arcsin(a) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

  • Неравенство $\sin x < a$:

  • Если $a \leq -1$, то решений нет.

  • Если $a > 1$, то решением является любое $x$.
  • Если $-1 < a \leq 1$, то $-\pi - \arcsin(a) + 2\pi k < x < \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

  • Неравенство $\cos x > a$:

  • Если $a \geq 1$, то решений нет.

  • Если $a < -1$, то решением является любое $x$.
  • Если $-1 \leq a < 1$, то $-\arccos(a) + 2\pi k < x < \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

  • Неравенство $\cos x < a$:

  • Если $a \leq -1$, то решений нет.

  • Если $a > 1$, то решением является любое $x$.
  • Если $-1 < a \leq 1$, то $\arccos(a) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств

• Приведение к простейшим уравнениям и неравенствам: Использование тригонометрических тождеств для упрощения выражений.
• Замена переменной: Введение новой переменной для упрощения уравнения.
• Разложение на множители: Представление уравнения в виде произведения нескольких выражений.
• Использование графиков тригонометрических функций: Для наглядного представления решений.