Решим уравнение из задания 6): $A_x^5 = 20A_x^3$.

Шаг 1: Запишем формулу для числа размещений

Напомним, что $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$. Используя эту формулу, перепишем уравнение:

$\frac{x!}{(x-5)!} = 20 \cdot \frac{x!}{(x-3)!}$

Шаг 2: Упростим уравнение

Сократим $x!$ в обеих частях уравнения (предполагаем, что $x! \neq 0$, то есть $x > 0$):

$\frac{1}{(x-5)!} = 20 \cdot \frac{1}{(x-3)!}$

Перенесем все в одну сторону:

$\frac{(x-3)!}{(x-5)!} = 20$

Шаг 3: Преобразуем факториалы

Заметим, что $(x-3)! = (x-3)(x-4)(x-5)!$. Подставим это в уравнение:

$\frac{(x-3)(x-4)(x-5)!}{(x-5)!} = 20$

Сократим $(x-5)!$:

$(x-3)(x-4) = 20$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 3x + 12 = 20$

$x^2 - 7x + 12 - 20 = 0$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$. Тогда корни:

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Шаг 5: Проверим корни

Так как $x$ должен быть больше или равен 5 (из условия $A_x^5$), то $x = 8$ является единственным подходящим решением.

Ответ: $x = 8$