Привет! 👋 Давай разберем анализ функции $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Задание 2. Анализ функции $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

a) Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Для косинуса это происходит, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение студента:
Студент верно определил общее решение для $\cos(\theta) = 0$ как $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Затем он приравнял аргумент функции $x - \frac{\pi}{4}$ к этому выражению:
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
И правильно выразил $x$:
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

✅ Вывод: Решение по нахождению нулей функции выполнено абсолютно верно! Отличная работа!

b) Промежутки убывания и возрастания:

Функция косинуса $y = \cos(t)$ убывает на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ и возрастает на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение студента:
Студент указал, что функция косинуса убывает на интервале $(0, \pi)$. Это верно для базовой функции $\cos(t)$ на одном периоде. Однако, для функции $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ нужно учесть сдвиг аргумента.

Шаг 1: Находим интервалы убывания для аргумента.
Функция $\cos(t)$ убывает, когда $t \in (0 + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставляем аргумент нашей функции: $0 + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k$
Прибавляем $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Таким образом, промежутки убывания: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Находим интервалы возрастания для аргумента.
Функция $\cos(t)$ возрастает, когда $t \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Подставляем аргумент нашей функции: $\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k$
Прибавляем $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:
$\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$

Таким образом, промежутки возрастания: $x \in \left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравнение с решением студента:
Студент верно определил интервалы убывания и возрастания с учетом сдвига и периода. Его решение:
* Убывание: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)$
* Возрастание: $x \in \left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\right)$

✅ Вывод: Решение по нахождению промежутков убывания и возрастания также выполнено верно! Студент правильно учел сдвиг фазы и периодичность функции.

Общий вывод по заданию 2: Все пункты выполнены правильно. Отличная работа!