Привет! 👋 Конечно, я помогу тебе решить эту задачу.

Задание 1

Вычислите $\cos^2 \alpha$, если $\cos 2\alpha = 0.5$.

Решение:

1. Вспомним формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

2. Подставим известное значение $\cos 2\alpha = 0.5$ в формулу: $0.5 = 2\cos^2 \alpha - 1$.

3. Решим уравнение относительно $\cos^2 \alpha$:

   • $2\cos^2 \alpha = 1.5$
   • $\cos^2 \alpha = \frac{1.5}{2} = 0.75$

Ответ: $\cos^2 \alpha = 0.75$

Привет! 👋 Давай решим это тригонометрическое выражение вместе.

Задание 2

Вычислите: $4\sin 330^\circ - 2\cos 240^\circ + \tan 225^\circ$.

Решение:

1. Определим значения тригонометрических функций:

   • $\sin 330^\circ = -\sin (360^\circ - 330^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$
   • $\cos 240^\circ = -\cos (240^\circ - 180^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
   • $\tan 225^\circ = \tan (225^\circ - 180^\circ) = \tan 45^\circ = 1$

2. Подставим значения в исходное выражение:
   $4\sin 330^\circ - 2\cos 240^\circ + \tan 225^\circ = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1$

3. Вычислим:
   $-2 + 1 + 1 = 0$

Ответ: 0

Привет! 👋 Сейчас мы упростим выражение и найдем его значение.

Задание 3

Найдите значение выражения $\frac{y^2 - 9x^2}{xy - 3x^2}$ при $x = 4.6, y = 1.5$.

Решение:

1. Разложим числитель как разность квадратов: $y^2 - 9x^2 = (y - 3x)(y + 3x)$.

2. Вынесем общий множитель $x$ в знаменателе: $xy - 3x^2 = x(y - 3x)$.

3. Запишем выражение с учетом разложения и вынесения общего множителя:
   $\frac{(y - 3x)(y + 3x)}{x(y - 3x)}$

4. Сократим $(y - 3x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $y \neq 3x$):
   $\frac{y + 3x}{x}$

5. Подставим значения $x = 4.6$ и $y = 1.5$ в упрощенное выражение:
   $\frac{1.5 + 3 \cdot 4.6}{4.6} = \frac{1.5 + 13.8}{4.6} = \frac{15.3}{4.6}$

6. Вычислим значение:
   $\frac{15.3}{4.6} = 3.32608695652 \approx 3.33$

Ответ: 3.33 (округлено до сотых)

Привет! 👋 Давай упростим это выражение с корнями.

Задание 4

Найдите значение выражения $\sqrt{72} - \sqrt{648}$.

Решение:

1. Разложим числа под корнями на простые множители, чтобы выделить полные квадраты:

   • $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$
   • $648 = 324 \cdot 2 = 18^2 \cdot 2$

2. Извлечем квадратные корни из полных квадратов:

   • $\sqrt{72} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
   • $\sqrt{648} = \sqrt{18^2 \cdot 2} = 18\sqrt{2}$

3. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
   $6\sqrt{2} - 18\sqrt{2}$

4. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:
   $(6 - 18)\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$

Ответ: $-12\sqrt{2}$ (что приблизительно равно -16.97)

Среди предложенных вариантов ответа нет точного значения. Однако, если требуется выбрать наиболее близкий вариант, то можно оценить значение выражения: $-12\sqrt{2} \approx -12 \cdot 1.414 \approx -16.97$. Ни один из предложенных вариантов (3,1; 6; 36; 12) не является верным. Возможно, в задании или в вариантах ответа есть опечатка.

Привет! 👋 Сейчас мы упростим это тригонометрическое выражение.

Задание 5

Упростите выражение: $\frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Решение:

1. Преобразуем $\cos 2x$ по формуле двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

2. Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

3. Запишем первую дробь с учетом разложения: $\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$.

4. Сократим $(\cos x - \sin x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos x \neq \sin x$):
   $\cos x + \sin x$.

5. Преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла: $2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x$.

6. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
   $\cos x + \sin x - \sin x$.

7. Упростим выражение:
   $\cos x$.

Ответ: $\cos x$

Привет! 👋 Сейчас мы упростим это алгебраическое выражение.

Задание 11

Упростите выражение: $\frac{2}{a-2} + \frac{3a}{a^2 + a - 6} + \frac{2a}{a+3}$.

Решение:

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2 + a - 6 = (a - 2)(a + 3)$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a + 3)$:

   • Первая дробь: $\frac{2}{a-2} = \frac{2(a+3)}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a + 6}{(a-2)(a+3)}$
   • Вторая дробь: $\frac{3a}{(a-2)(a+3)}$ (уже с нужным знаменателем)
   • Третья дробь: $\frac{2a}{a+3} = \frac{2a(a-2)}{(a+3)(a-2)} = \frac{2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)}$

3. Сложим все дроби:
   $\frac{2a + 6 + 3a + 2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}$

4. Попробуем разложить числитель $2a^2 + a + 6$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 - 48 = -47$. Так как дискриминант отрицательный, числитель не раскладывается на множители.

5. Запишем упрощенное выражение:
   $\frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}$

6. Сравним полученное выражение с предложенными вариантами ответа. Ни один из предложенных вариантов не соответствует полученному выражению. Проверим еще раз вычисления.

   $\frac{2(a+3) + 3a + 2a(a-2)}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a + 6 + 3a + 2a^2 - 4a}{(a-2)(a+3)} = \frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}$

   Похоже, что в задании или в вариантах ответа есть опечатка. Если предположить, что в числителе должно быть $2a^2 - a - 6$, тогда можно было бы разложить на множители и сократить. Но с текущим числителем выражение не упрощается до одного из предложенных вариантов.

Ответ: Выражение упрощено до $\frac{2a^2 + a + 6}{(a-2)(a+3)}$, но ни один из предложенных вариантов не соответствует этому результату.

Привет! 👋 Давай решим эту задачу на проценты.

Задание 12

Стоимость одного кВт⋅ч электроэнергии в январе составляла 4 руб./кВт⋅ч, а в феврале выросла на 5%. Расход электроэнергии в январе составил 240 кВт⋅ч, а в феврале - 250 кВт⋅ч. Счёт на оплату электроснабжения за февраль вырос на ___ руб.

Решение:

1. Найдем стоимость одного кВт⋅ч в феврале:

   • Увеличение стоимости: $4 \cdot 0.05 = 0.2$ руб.
   • Стоимость в феврале: $4 + 0.2 = 4.2$ руб./кВт⋅ч

2. Рассчитаем стоимость электроэнергии в январе:

   • $240 \cdot 4 = 960$ руб.

3. Рассчитаем стоимость электроэнергии в феврале:

   • $250 \cdot 4.2 = 1050$ руб.

4. Найдем разницу в стоимости между февралем и январем:

   • $1050 - 960 = 90$ руб.

Ответ: Счёт на оплату электроснабжения за февраль вырос на 90 руб.

Привет! 👋 Сейчас решим эту задачу про зарплату.

Задание 13

Заработная плата Иванова в январе составляла 20000 руб. и повысилась в феврале на 4%, а в марте - на 5%. Размер заработной платы Иванова в марте вырос на ___ руб.

Решение:

1. Рассчитаем зарплату в феврале:

   • Повышение в феврале: $20000 \cdot 0.04 = 800$ руб.
   • Зарплата в феврале: $20000 + 800 = 20800$ руб.

2. Рассчитаем зарплату в марте:

   • Повышение в марте: $20800 \cdot 0.05 = 1040$ руб.
   • Зарплата в марте: $20800 + 1040 = 21840$ руб.

3. Найдем, на сколько выросла зарплата в марте по сравнению с январем:

   • $21840 - 20000 = 1840$ руб.

Ответ: Размер заработной платы Иванова в марте вырос на 1840 руб.

Привет! 👋 Разберемся с областью определения логарифмической функции.

Задание 14

Области определения функции $y = \log_{0.2}(9 - 36x)$ принадлежат значения...

Решение:

1. Определим условие существования логарифма. Логарифм существует только тогда, когда аргумент логарифма строго больше нуля. В нашем случае аргумент логарифма - это выражение $9 - 36x$.

2. Запишем неравенство:
   $9 - 36x > 0$

3. Решим неравенство:

   • $-36x > -9$
   • $36x < 9$ (умножили обе части на -1, знак неравенства изменился)
   • $x < \frac{9}{36}$
   • $x < \frac{1}{4}$

4. Среди предложенных вариантов выберем те, которые меньше $\frac{1}{4}$:

   • 0 (так как $0 < \frac{1}{4}$)
   • -7 (так как $-7 < \frac{1}{4}$)
   • 1 (не подходит, так как $1 > \frac{1}{4}$)
   • 4 (не подходит, так как $4 > \frac{1}{4}$)

Ответ: Области определения функции принадлежат значения 0 и -7.

Привет! 👋 Давай сопоставим функции с их областями определения.

Задание 15

Установите соответствие между функцией и областью ее определения.

1. $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+6}$
2. $y = \frac{x+2}{x+6}$
3. $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+6}}$

Решение:

• Функция 1: $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+6}$

  • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$, следовательно, $x \ge -2$.
  • Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 6 \
    e 0$, следовательно, $x \
    e -6$.
  • Область определения: $x \in [-2; +\infty)$. Так как $x \
    e -6$, то это условие выполняется автоматически, так как -6 не входит в интервал $[-2; +\infty)$.
  • Соответствует варианту 2: $x \in [2; +\infty)$ - неверно, должно быть $[-2; +\infty)$.

• Функция 2: $y = \frac{x+2}{x+6}$

  • Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 6 \
    e 0$, следовательно, $x \
    e -6$.
  • Область определения: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.
  • Соответствует варианту 1: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

• Функция 3: $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+6}}$

  • Подкоренное выражение всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$, следовательно, $x^2 + 6 > 0$ для любого $x$.
  • Знаменатель не должен быть равен нулю, но так как подкоренное выражение всегда положительно, то знаменатель всегда больше нуля.
  • Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
  • Соответствует варианту 3: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Таким образом, соответствия:

• Функция 1: не соответствует ни одному из предложенных вариантов.
• Функция 2: Вариант 1
• Функция 3: Вариант 3

Привет! 👋 Определим, какой функции соответствует график.

Задание 16

На рисунке изображен график одной из перечисленных функций. Это функция...

Решение:

1. Анализ графика:

   • График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным.
   • Вершина параболы находится в точке (1; -1).

2. Проверка предложенных функций:

   • $y = x^2 - 1$: Вершина в точке (0; -1). Не подходит.
   • $y = x^2 + 2x$: Преобразуем к виду $y = (x+1)^2 - 1$. Вершина в точке (-1; -1). Не подходит.
   • $y = x^2 - 2x$: Преобразуем к виду $y = (x-1)^2 - 1$. Вершина в точке (1; -1). Подходит.
   • $y = x^2 + 1$: Вершина в точке (0; 1). Не подходит.

3. Вывод:

   • Графику соответствует функция $y = x^2 - 2x$.

Ответ: $y = x^2 - 2x$