Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

Задание 1

Решить уравнение:

$\frac{sin3x + sinx}{cosx} = 0$

Решение:

1. Определим ОДЗ (область допустимых значений):

   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   $cosx \neq 0$
   $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$

2. Приравняем числитель к нулю:

   $sin3x + sinx = 0$

3. Используем формулу суммы синусов:

   $sinA + sinB = 2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$

   В нашем случае:
   $2sin(\frac{3x+x}{2})cos(\frac{3x-x}{2}) = 0$
   $2sin(2x)cos(x) = 0$

4. Разложим на два уравнения:

   • $sin(2x) = 0$
   • $cos(x) = 0$

5. Решим первое уравнение:

   $sin(2x) = 0$
   $2x = \pi n$, где $n \in Z$
   $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$

6. Решим второе уравнение:

   $cos(x) = 0$
   $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$

7. Учтем ОДЗ:

   Мы исключили $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ из ОДЗ, поэтому эти решения не подходят.

8. Проанализируем решения $x = \frac{\pi n}{2}$:

   • При $n = 2k+1$, $x = \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что не подходит из-за ОДЗ.
   • При $n = 2k$, $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ:

$x = \pi k$, где $k \in Z$