Анализ функции $y = \frac{2x-5}{x+1}$
Рассмотрим функцию $y = \frac{2x-5}{x+1}$ и выполним полный анализ.
1. Область определения функции
Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$
Таким образом, область определения функции: $D(f) = \mathbb{R} \setminus {-1}$ или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$
2. Заполнение таблицы значений
В таблице уже есть некоторые значения, проверим их и заполним пропуски:
При $x = 0$:
$y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5$ ✓
При $x = 2,5$:
$y = \frac{2 \cdot 2,5 - 5}{2,5 + 1} = \frac{5 - 5}{3,5} = \frac{0}{3,5} = 0$ ✓
При $x = -1$:
Знаменатель равен нулю, функция не определена, поэтому в таблице стоит прочерк ✓
При $x$ из последнего столбца (значение $y = 2$):
Найдем, при каком $x$ значение $y = 2$:
$\frac{2x-5}{x+1} = 2$
$2x-5 = 2(x+1)$
$2x-5 = 2x+2$
$-5 = 2$
Получили противоречие. Возможно, в таблице ошибка. Проверим, при каком $x$ значение $y$ действительно равно 2:
$\frac{2x-5}{x+1} = 2$
$2x-5 = 2(x+1)$
$2x-5 = 2x+2$
$-5 = 2$
Это невозможно. Значит, функция не может принимать значение $y = 2$. В таблице, вероятно, ошибка.
3. Область значений функции
Для нахождения области значений преобразуем функцию:
$y = \frac{2x-5}{x+1} = \frac{2(x+1)-7}{x+1} = 2 - \frac{7}{x+1}$
При $x \to -1^-$ (слева) $y \to -\infty$
При $x \to -1^+$ (справа) $y \to +\infty$
При $x \to \pm\infty$, $y \to 2$ (горизонтальная асимптота)
Таким образом, область значений: $E(f) = \mathbb{R} \setminus {2}$ или $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$
4. Точка пересечения с осью ординат (y)
При $x = 0$:
$y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5$
Точка пересечения с осью ординат: $(0; -5)$
5. Точки пересечения с осью абсцисс (x)
При $y = 0$:
$\frac{2x-5}{x+1} = 0$
$2x-5 = 0$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Точка пересечения с осью абсцисс: $(2,5; 0)$
6. Принадлежит ли точка (5; -2) графику функции?
Проверим, удовлетворяет ли точка $(5; -2)$ уравнению функции:
$y = \frac{2x-5}{x+1}$
$-2 = \frac{2 \cdot 5 - 5}{5 + 1}$
$-2 = \frac{10 - 5}{6}$
$-2 = \frac{5}{6}$
Получаем $-2 \neq \frac{5}{6}$, значит, точка $(5; -2)$ не принадлежит графику функции.
