Решение уравнений и неравенств с показательными функциями

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1

Решить уравнение:
1) $\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x} = 25$
Представим 25 как степень $\frac{1}{5}$: $25 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.
Тогда уравнение примет вид:
$\left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$
Приравниваем показатели:
$2 - 3x = -2$
$-3x = -4$
$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $x = \frac{4}{3}$

2) $4^x + 2^x - 20 = 0$
Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + y - 20 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Так как $y = 2^x$, то $2^x = 4$ или $2^x = -5$.
$2^x = 4$ имеет решение $x = 2$.
$2^x = -5$ не имеет решений, так как $2^x$ всегда положительно.

Ответ: $x = 2$

Задание 2

Решить неравенство:
$\left(\frac{3}{4}\right)^x > 1\frac{1}{3}$
Преобразуем правую часть: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Тогда неравенство примет вид:
$\left(\frac{3}{4}\right)^x > \frac{4}{3}$
$\left(\frac{3}{4}\right)^x > \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$
Так как основание $\frac{3}{4} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется:
$x < -1$

Ответ: $x < -1$

Задание 3

Решить систему уравнений:
$\begin{cases}
x - y = 4, \
5^x + y = 25.
\end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 4$.
Подставим во второе уравнение:
$5^{y+4} + y = 25$
$5^y \cdot 5^4 + y = 25$
$625 \cdot 5^y + y = 25$
Заметим, что при $y = -4$, $x = 0$. Проверим:
$5^0 + (-4) = 1 - 4 = -3 \neq 25$.
Попробуем $y = -2$:
$x = 2$
$5^2 + (-2) = 25 - 2 = 23 \neq 25$.
Попробуем $y = 0$:
$x = 4$
$5^4 + 0 = 625 \neq 25$.
Похоже, что здесь опечатка. Должно быть $5^{x+y} = 25$. Тогда:
$\begin{cases}
x - y = 4, \
x + y = 2.
\end{cases}$
Сложим уравнения:
$2x = 6$
$x = 3$
Тогда $y = x - 4 = 3 - 4 = -1$.