Задание 8

Найдем значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ по графику функции и касательной.

Решение:

1) Вспомним, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

2) На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$.

3) Чтобы найти угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона к оси OX), нужно:
* Выбрать две точки на касательной
* Найти отношение разности ординат к разности абсцисс

4) По графику видно, что касательная проходит через точки:
* $(x_0, f(x_0))$
* $(x_0 + 1, f(x_0) + 2)$

5) Тогда угловой коэффициент касательной равен:
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2$

6) Следовательно, $f'(x_0) = 2$

Ответ: $f'(x_0) = 2$

Задание 9

Решим задачу пошагово.

1) Дано уравнение процесса: $pV^a = const$

2) Пусть начальные значения: $p_1, V_1$
Конечные значения: $p_2, V_2$

3) По условию:
* $V_2 = \frac{V_1}{2}$ (объем уменьшается вдвое)
* $p_2 \geq 4p_1$ (давление увеличивается не менее чем в 4 раза)

4) Запишем уравнение для начального и конечного состояния:
$p_1V_1^a = p_2V_2^a$

5) Подставим известные соотношения:
$p_1V_1^a = p_2(\frac{V_1}{2})^a$

6) Выразим отношение давлений:
$\frac{p_2}{p_1} = 2^a$

7) По условию:
$2^a \geq 4$

8) Решаем неравенство:
$2^a \geq 2^2$
$a \geq 2$

Ответ: $a = 2$ - наименьшее значение константы $a$, при котором выполняются условия задачи.