{
"subject": "Алгебра",
"url_subject": "math",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"title": "Нахождение производной функции",
"description": "Решение задачи на вычисление производной функции для выражения (x-6)/(3x²+6x+10)",
"keywords": ["производная", "дробь", "алгебра", "дифференцирование", "правило дифференцирования частного"]
}

Давайте решим задачу по шагам! 📚

Нам нужно найти производную функции: $f(x) = \frac{x-6}{3x^2+6x+10}$

Шаг 1️⃣: Для нахождения производной дроби используем формулу:
$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, где
- u = x-6 (числитель)
- v = 3x²+6x+10 (знаменатель)

Шаг 2️⃣: Находим u':
- (x-6)' = 1

Шаг 3️⃣: Находим v':
- (3x²+6x+10)' = 6x+6

Шаг 4️⃣: Подставляем в формулу:
$f'(x)=\frac{1(3x^2+6x+10)-(x-6)(6x+6)}{(3x^2+6x+10)^2}$

Шаг 5️⃣: Раскрываем скобки в числителе:
1. $1(3x^2+6x+10) = 3x^2+6x+10$
2. $(x-6)(6x+6) = 6x^2-36x+6x-36 = 6x^2-30x-36$

Шаг 6️⃣: Окончательно записываем результат:
$f'(x)=\frac{3x^2+6x+10-(6x^2-30x-36)}{(3x^2+6x+10)^2}=\frac{-3x^2+36x+46}{(3x^2+6x+10)^2}$

Ответ: $f'(x)=\frac{-3x^2+36x+46}{(3x^2+6x+10)^2}$