Задание 1
В урне 5 белых и 15 чёрных шаров. Случайным образом вынули три шара. Составить закон распределения случайной величины ξ - числа вынутых белых шаров. Составить функцию распределения, найти числовые характеристики.
Решение:
1️⃣ Определим возможные значения случайной величины ξ
ξ - число вынутых белых шаров. Поскольку всего белых шаров 5, а вынимаем 3 шара, то ξ может принимать значения: 0, 1, 2, 3.
2️⃣ Найдем вероятности для каждого значения ξ
Всего в урне 5 + 15 = 20 шаров. Общее число способов вынуть 3 шара из 20 равно $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = 1140$.
Теперь найдем вероятности для каждого значения ξ:
-
P(ξ = 0) - вероятность не вынуть ни одного белого шара, т.е. вынуть 3 черных шара из 15:
$P(ξ = 0) = \frac{C_{15}^3}{C_{20}^3} = \frac{455}{1140} = \frac{91}{228} ≈ 0.399$
-
P(ξ = 1) - вероятность вынуть 1 белый и 2 черных шара:
$P(ξ = 1) = \frac{C_{5}^1 \cdot C_{15}^2}{C_{20}^3} = \frac{5 \cdot 105}{1140} = \frac{525}{1140} = \frac{35}{76} ≈ 0.461$
-
P(ξ = 2) - вероятность вынуть 2 белых и 1 черный шар:
$P(ξ = 2) = \frac{C_{5}^2 \cdot C_{15}^1}{C_{20}^3} = \frac{10 \cdot 15}{1140} = \frac{150}{1140} = \frac{5}{38} ≈ 0.132$
-
P(ξ = 3) - вероятность вынуть 3 белых шара:
$P(ξ = 3) = \frac{C_{5}^3 \cdot C_{15}^0}{C_{20}^3} = \frac{10 \cdot 1}{1140} = \frac{10}{1140} = \frac{1}{114} ≈ 0.009$
3️⃣ Закон распределения случайной величины ξ
| ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
| P |
91/228 |
35/76 |
5/38 |
1/114 |
4️⃣ Функция распределения F(x)
Функция распределения определяется как F(x) = P(ξ < x):
$F(x) = \begin{cases}
0, & \text{при } x < 0 \
0, & \text{при } 0 \leq x < 1 \
\frac{91}{228}, & \text{при } 1 \leq x < 2 \
\frac{91}{228} + \frac{35}{76} = \frac{91 \cdot 76 + 35 \cdot 228}{228 \cdot 76} = \frac{6916 + 7980}{17328} = \frac{14896}{17328} ≈ 0.860, & \text{при } 2 \leq x < 3 \
\frac{91}{228} + \frac{35}{76} + \frac{5}{38} = \frac{14896}{17328} + \frac{5}{38} = \frac{14896 \cdot 38 + 5 \cdot 17328}{17328 \cdot 38} = \frac{566048 + 86640}{658464} = \frac{652688}{658464} ≈ 0.991, & \text{при } 3 \leq x < 4 \
1, & \text{при } x \geq 4
\end{cases}$
5️⃣ Числовые характеристики
Математическое ожидание:
$M(ξ) = \sum x_i P_i = 0 \cdot \frac{91}{228} + 1 \cdot \frac{35}{76} + 2 \cdot \frac{5}{38} + 3 \cdot \frac{1}{114}$
Приведем к общему знаменателю 17328 (НОК для 228, 76, 38 и 114):
$M(ξ) = 0 \cdot \frac{6916}{17328} + 1 \cdot \frac{7980}{17328} + 2 \cdot \frac{2280}{17328} + 3 \cdot \frac{152}{17328} = \frac{7980 + 4560 + 456}{17328} = \frac{12996}{17328} = \frac{3249}{4332} ≈ 0.750$
Дисперсия:
$D(ξ) = M(ξ^2) - [M(ξ)]^2$
$M(ξ^2) = \sum x_i^2 P_i = 0^2 \cdot \frac{91}{228} + 1^2 \cdot \frac{35}{76} + 2^2 \cdot \frac{5}{38} + 3^2 \cdot \frac{1}{114}$
$M(ξ^2) = 0 + \frac{35}{76} + \frac{20}{38} + \frac{9}{114} = \frac{7980 + 9120 + 1368}{17328} = \frac{18468}{17328} = \frac{1539}{1444} ≈ 1.066$
$D(ξ) = \frac{1539}{1444} - (\frac{3249}{4332})^2 = \frac{1539}{1444} - \frac{10556001}{18766224} = \frac{1539 \cdot 18766224 - 1444 \cdot 10556001}{1444 \cdot 18766224}$
После вычислений получаем:
$D(ξ) ≈ 0.503$
Среднее квадратическое отклонение:
$\sigma(ξ) = \sqrt{D(ξ)} = \sqrt{0.503} ≈ 0.709$
Таким образом, мы полностью описали закон распределения случайной величины ξ, построили функцию распределения и нашли основные числовые характеристики.
