Привет! 👋 Давай решим задачу 5 вместе.

Задание 5: Решить дифференциальное уравнение $y' + y \tg x = \cos^2 x$ с начальным условием $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.

Решение:

1. Определим тип уравнения: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = \tg x$ и $q(x) = \cos^2 x$.

2. Найдем интегрирующий фактор: Интегрирующий фактор $\mu(x)$ определяется как $e^{\int p(x) dx}$. В нашем случае:
   $\mu(x) = e^{\int \tg x dx} = e^{-\ln |\cos x|} = e^{\ln |\sec x|} = |\sec x|$.
   Для простоты возьмем $\mu(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$.

3. Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор:
   $\frac{1}{\cos x} (y' + y \tg x) = \frac{1}{\cos x} \cos^2 x$
   $\frac{y'}{\cos x} + y \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \cos x$

4. Заметим, что левая часть является производной произведения $y \cdot \mu(x)$:
   $\frac{d}{dx} (y \sec x) = \cos x$

5. Проинтегрируем обе части по $x$:
   $\int \frac{d}{dx} (y \sec x) dx = \int \cos x dx$
   $y \sec x = \sin x + C$

6. Выразим $y$:
   $y = \sin x \cos x + C \cos x$

7. Используем начальное условие $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$ для нахождения $C$:
   $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos(\frac{\pi}{4})$
   $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
   $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \frac{\sqrt{2}}{2}$
   $0 = C \frac{\sqrt{2}}{2}$
   $C = 0$

8. Запишем окончательное решение:
   $y = \sin x \cos x$

Ответ: $y = \sin x \cos x$

Привет! 👋 Давай решим задачу 6 вместе.

Задание 6: Решить дифференциальное уравнение $y' + 4x^3y = 4(x^3 + 1)e^{-4x}y^2$ с начальным условием $y(0) = 1$.

Решение:

1. Определим тип уравнения: Это уравнение Бернулли вида $y' + p(x)y = q(x)y^n$, где $p(x) = 4x^3$, $q(x) = 4(x^3 + 1)e^{-4x}$ и $n = 2$.

2. Сделаем замену: Пусть $z = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}$. Тогда $y = z^{-1}$ и $y' = -z^{-2}z'$.

3. Подставим замену в исходное уравнение:
   $-z^{-2}z' + 4x^3z^{-1} = 4(x^3 + 1)e^{-4x}(z^{-1})^2$
   Умножим обе части на $-z^2$:
   $z' - 4x^3z = -4(x^3 + 1)e^{-4x}$

4. Решим полученное линейное уравнение: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $z' + p(x)z = q(x)$, где $p(x) = -4x^3$ и $q(x) = -4(x^3 + 1)e^{-4x}$.

5. Найдем интегрирующий фактор: Интегрирующий фактор $\mu(x)$ определяется как $e^{\int p(x) dx}$. В нашем случае:
   $\mu(x) = e^{\int -4x^3 dx} = e^{-x^4}$.

6. Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор:
   $e^{-x^4}z' - 4x^3e^{-x^4}z = -4(x^3 + 1)e^{-4x}e^{-x^4}$

7. Заметим, что левая часть является производной произведения $z \cdot \mu(x)$:
   $\frac{d}{dx} (z e^{-x^4}) = -4(x^3 + 1)e^{-4x - x^4}$

8. Проинтегрируем обе части по $x$:
   $\int \frac{d}{dx} (z e^{-x^4}) dx = \int -4(x^3 + 1)e^{-4x - x^4} dx$
   $z e^{-x^4} = \int -4(x^3 + 1)e^{-4x - x^4} dx$

   Заметим, что $\frac{d}{dx} e^{-4x - x^4} = (-4 - 4x^3)e^{-4x - x^4} = -4(1 + x^3)e^{-4x - x^4}$.
   Тогда:
   $z e^{-x^4} = e^{-4x - x^4} + C$

9. Выразим $z$:
   $z = e^{-4x} + Ce^{x^4}$

10. Вернемся к переменной $y$:
    $y = \frac{1}{z} = \frac{1}{e^{-4x} + Ce^{x^4}}$

11. Используем начальное условие $y(0) = 1$ для нахождения $C$:
    $1 = \frac{1}{e^0 + Ce^0} = \frac{1}{1 + C}$
    $1 = 1 + C$
    $C = 0$

12. Запишем окончательное решение:
    $y = \frac{1}{e^{-4x}} = e^{4x}$

Ответ: $y = e^{4x}$

Привет! 👋 Давай решим задачу 7 вместе.

Задание 7: Решить дифференциальное уравнение $(2x - 1 - \frac{y}{x^2})dx - (2y - \frac{1}{x})dy = 0$.

Решение:

1. Преобразуем уравнение к виду $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$:
   $(2x - 1 - \frac{y}{x^2})dx + (-2y + \frac{1}{x})dy = 0$
   $M(x, y) = 2x - 1 - \frac{y}{x^2}$
   $N(x, y) = -2y + \frac{1}{x}$

2. Проверим, является ли уравнение точным:
   $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x - 1 - \frac{y}{x^2}) = -\frac{1}{x^2}$
   $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-2y + \frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$
   Так как $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, уравнение является точным.

3. Найдем функцию $F(x, y)$ такую, что $\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$:
   $\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 1 - \frac{y}{x^2}$
   Интегрируем по $x$:
   $F(x, y) = \int (2x - 1 - \frac{y}{x^2}) dx = x^2 - x + \frac{y}{x} + g(y)$, где $g(y)$ - произвольная функция $y$.

4. Найдем $g(y)$:
   $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 - x + \frac{y}{x} + g(y)) = \frac{1}{x} + g'(y)$
   Но $\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y) = -2y + \frac{1}{x}$, следовательно:
   $\frac{1}{x} + g'(y) = -2y + \frac{1}{x}$
   $g'(y) = -2y$
   Интегрируем по $y$:
   $g(y) = \int -2y dy = -y^2 + C_1$

5. Запишем функцию $F(x, y)$:
   $F(x, y) = x^2 - x + \frac{y}{x} - y^2 + C_1$

6. Общее решение уравнения имеет вид $F(x, y) = C$:
   $x^2 - x + \frac{y}{x} - y^2 = C$, где $C$ - произвольная константа.

Ответ: $x^2 - x + \frac{y}{x} - y^2 = C$