Я понял, нужно упростить выражение в задании 8.

Задание 8

Для упрощения выражения
$\frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha}$
при $\alpha = \frac{\pi}{18}$, воспользуемся формулами преобразования разности косинусов и синусов в произведение:

$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$
$\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:

Числитель:
$\cos \alpha + \cos 5\alpha - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos 3\alpha \cos \alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha) = 2 \cos 3\alpha (-2 \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \cos 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$

Знаменатель:
$\sin \alpha + \sin 5\alpha - (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha \cos \alpha = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha) = 2 \sin 3\alpha (-2 \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \sin 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$

Тогда выражение равно:
$\frac{-4 \cos 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}}{-4 \sin 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \cot 3\alpha$

Подставим $\alpha = \frac{\pi}{18}$:
$\cot 3\alpha = \cot (3 \cdot \frac{\pi}{18}) = \cot \frac{\pi}{6} = \cot 30^\circ = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

Ассистент: Я понял, нужно найти абсциссы точек пересечения прямой $y = -1$ и графика функции $y = \sin x + \cos x$.

Задание 10

Для решения задачи необходимо найти значения $x$, при которых выполняется равенство:
$\sin x + \cos x = -1$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу для суммы синуса и косинуса:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

Тогда уравнение принимает вид:
$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения для $x + \frac{\pi}{4}$:
$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:
$x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ассистент: Я понял, нужно решить задачу 10 другим способом.

Задание 10 (альтернативное решение)

Исходное уравнение:
$\sin x + \cos x = -1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sin x + \cos x)^2 = (-1)^2$
$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1$
$1 + 2 \sin x \cos x = 1$
$2 \sin x \cos x = 0$
$\sin 2x = 0$

Решения для $2x$:
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{2}$

Теперь нужно проверить, какие из этих решений удовлетворяют исходному уравнению $\sin x + \cos x = -1$.

• $k = 0$: $x = 0$, $\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \neq -1$ (не подходит)
• $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \neq -1$ (не подходит)
• $k = 2$: $x = \pi$, $\sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1$ (подходит)
• $k = 3$: $x = \frac{3\pi}{2}$, $\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1$ (подходит)
• $k = 4$: $x = 2\pi$, $\sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \neq -1$ (не подходит)

Таким образом, решения имеют вид:
$x = \pi + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что $\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$, поэтому можно записать общее решение как:
$x = \pi + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Сравнение методов:

• Первый метод (использование формулы $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$) более прямой и позволяет избежать возведения в квадрат, что упрощает процесс и уменьшает вероятность появления посторонних корней.
• Второй метод (возведение в квадрат) приводит к необходимости проверки корней, так как возведение в квадрат может ввести посторонние решения.

Преимущества первого метода:

• Более простой и быстрый.
• Меньше вероятность ошибок из-за отсутствия необходимости проверки корней.

Преимущества второго метода:

• Может быть полезен, если трудно применить другие методы.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$