Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим задачу по статистике.

Задание 1

Необходимо построить 95% доверительный интервал для генеральной средней заработной платы.

Шаг 1: Сбор данных

Сначала соберем данные о заработной плате за 2019 и 2020 годы из предоставленной таблицы.

Данные за 2019 год:
42263, 43062, 46324, 48030, 47926, 49348, 46509, 44961, 45541, 46549, 46285, 62239

Данные за 2020 год:
46674, 47257, 50948, 49306, 50747, 52123, 50145, 47649, 49259, 49539, 49274, 69278

Шаг 2: Расчет выборочных средних и стандартных отклонений

Для каждой выборки (2019 и 2020 годы) рассчитаем выборочное среднее ($\bar{x}$) и выборочное стандартное отклонение ($s$).

Для 2019 года:

$\bar{x}_{2019} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{42263 + 43062 + 46324 + 48030 + 47926 + 49348 + 46509 + 44961 + 45541 + 46549 + 46285 + 62239}{12} = \frac{579037}{12} \approx 48253.08$

$s_{2019} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Сначала найдем сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x}_{2019})^2 = (42263-48253.08)^2 + (43062-48253.08)^2 + ... + (62239-48253.08)^2 \approx 299117177.92$

$s_{2019} = \sqrt{\frac{299117177.92}{11}} \approx \sqrt{27192470.72} \approx 5214.64$

Для 2020 года:

$\bar{x}_{2020} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{46674 + 47257 + 50948 + 49306 + 50747 + 52123 + 50145 + 47649 + 49259 + 49539 + 49274 + 69278}{12} = \frac{612199}{12} \approx 51016.58$

$s_{2020} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Сначала найдем сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x}_{2020})^2 = (46674-51016.58)^2 + (47257-51016.58)^2 + ... + (69278-51016.58)^2 \approx 492799157.92$

$s_{2020} = \sqrt{\frac{492799157.92}{11}} \approx \sqrt{44799923.45} \approx 6693.27$

Шаг 3: Расчет доверительных интервалов

Доверительный интервал для генеральной средней вычисляется по формуле:

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Где:
- $\bar{x}$ - выборочное среднее
- $t_{\alpha/2, n-1}$ - t-значение для уровня значимости $\alpha/2$ и $n-1$ степеней свободы
- $s$ - выборочное стандартное отклонение
- $n$ - размер выборки

Для 95% доверительного интервала, $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$, и $\alpha/2 = 0.025$. Для $n = 12$, степеней свободы $n-1 = 11$. $t_{0.025, 11} \approx 2.201$ (можно найти в таблице t-распределения или использовать калькулятор).

Для 2019 года:

Доверительный интервал = $48253.08 \pm 2.201 \cdot \frac{5214.64}{\sqrt{12}}$
= $48253.08 \pm 2.201 \cdot \frac{5214.64}{3.464}$
= $48253.08 \pm 2.201 \cdot 1505.41$
= $48253.08 \pm 3313.41$

Нижняя граница: $48253.08 - 3313.41 = 44939.67$
Верхняя граница: $48253.08 + 3313.41 = 51566.49$

Доверительный интервал для 2019 года: (44939.67, 51566.49)

Для 2020 года:

Доверительный интервал = $51016.58 \pm 2.201 \cdot \frac{6693.27}{\sqrt{12}}$
= $51016.58 \pm 2.201 \cdot \frac{6693.27}{3.464}$
= $51016.58 \pm 2.201 \cdot 1931.95$
= $51016.58 \pm 4252.22$

Нижняя граница: $51016.58 - 4252.22 = 46764.36$
Верхняя граница: $51016.58 + 4252.22 = 55268.80$

Доверительный интервал для 2020 года: (46764.36, 55268.80)

Ответ:

95% доверительный интервал для генеральной средней заработной платы в 2019 году: (44939.67, 51566.49).
95% доверительный интервал для генеральной средней заработной платы в 2020 году: (46764.36, 55268.80).