Задание 1
Дана плотность вероятности $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, где $\lambda = \frac{1}{M_x}$.
Найти функцию распределения $F_X(x)$, математическое ожидание $M_X$ и дисперсию $D_X$.
Решение:
Шаг 1: Определим область определения случайной величины $X$
Поскольку мы имеем дело с экспоненциальным распределением, область определения $X$ - это $[0, +\infty)$.
Шаг 2: Найдем функцию распределения $F_X(x)$
Функция распределения связана с плотностью вероятности следующим соотношением:
$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$
Для нашего случая:
При $x < 0$: $F_X(x) = 0$ (так как $X \geq 0$)
При $x \geq 0$:
$F_X(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt = -e^{-\lambda t} |_{0}^{x} = -e^{-\lambda x} - (-e^{0}) = -e^{-\lambda x} + 1 = 1 - e^{-\lambda x}$
Таким образом, функция распределения имеет вид:
$F_X(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0
\end{cases}$
Шаг 3: Найдем математическое ожидание $M_X$
Из условия задачи нам дано, что $\lambda = \frac{1}{M_x}$, то есть $M_X = \frac{1}{\lambda}$.
Проверим это, используя определение математического ожидания:
$M_X = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx$
Решим этот интеграл с помощью интегрирования по частям:
$\int_{0}^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_{0}^{+\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx$
Пусть $u = x$, тогда $du = dx$
Пусть $dv = e^{-\lambda x} dx$, тогда $v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}$
$\int u dv = uv - \int v du$
$\lambda \int_{0}^{+\infty} x \cdot e^{-\lambda x} dx = \lambda \left[ -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]{0}^{+\infty} + \lambda \int dx$}^{+\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x
Первый член равен $\lambda \left[ -\frac{x}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]{0}^{+\infty} = \lambda \left[ 0 - 0 \right] = 0$ (так как $\lim = 0$)} x e^{-\lambda x
Второй член равен $\lambda \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x} dx = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{+\infty} = -\frac{1}{\lambda} \cdot 0 - \left(-\frac{1}{\lambda} \cdot 1\right) = \frac{1}{\lambda}$
Таким образом, $M_X = \frac{1}{\lambda}$, что подтверждает данное в условии соотношение.
Шаг 4: Найдем дисперсию $D_X$
Для экспоненциального распределения известно, что $D_X = \frac{1}{\lambda^2}$.
Проверим это, используя определение дисперсии:
$D_X = M_X^2 - (M_X)^2 = M_X^2 - \frac{1}{\lambda^2}$
Найдем второй начальный момент $M_X^2$:
$M_X^2 = \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx$
Решим этот интеграл с помощью интегрирования по частям:
$\int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot e^{-\lambda x} dx$
Пусть $u = x^2$, тогда $du = 2x dx$
Пусть $dv = e^{-\lambda x} dx$, тогда $v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}$
$\lambda \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot e^{-\lambda x} dx = \lambda \left[ -\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]{0}^{+\infty} + \lambda \int dx$}^{+\infty} \frac{2x}{\lambda} e^{-\lambda x
Первый член равен $\lambda \left[ -\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{+\infty} = \lambda \left[ 0 - 0 \right] = 0$
Второй член равен $\lambda \int_{0}^{+\infty} \frac{2x}{\lambda} e^{-\lambda x} dx = 2 \int_{0}^{+\infty} x e^{-\lambda x} dx = 2 \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}$
Таким образом, $M_X^2 = \frac{2}{\lambda}$
Теперь найдем дисперсию:
$D_X = M_X^2 - (M_X)^2 = \frac{2}{\lambda} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2\lambda}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2\lambda - 1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$
Таким образом, $D_X = \frac{1}{\lambda^2} = (M_X)^2$, так как $M_X = \frac{1}{\lambda}$.
Ответ:
- Функция распределения: $F_X(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0
\end{cases}$
- Математическое ожидание: $M_X = \frac{1}{\lambda}$
- Дисперсия: $D_X = \frac{1}{\lambda^2} = (M_X)^2$
