Здравствуйте! Давайте решим ваши задания по порядку.

Задание 1

Уравнение вида $y' + p(x)y = q(x)$ называется линейным дифференциальным уравнением.

Ответ: б)

Задание 2

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, $a_n \geq 0$. Рассмотрим $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = k$.

Согласно радикальному признаку Коши:
* Если $k < 1$, то ряд сходится.
* Если $k > 1$, то ряд расходится.
* Если $k = 1$, то признак не даёт ответа о сходимости или расходимости ряда.

Таким образом, если $k < 1$, ряд сходится.

Ответ: б) если k < 1, ряд расходится

Замечание: В условии задачи есть противоречие. Если $k < 1$, то ряд сходится, а не расходится. Вероятно, в вариантах ответа опечатка.

Задание 3

Запишите первые 3 члена ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5n+1}$.

Для этого подставим $n = 1, 2, 3$ в выражение $\frac{3^n}{5n+1}$:

• $n = 1$: $\frac{3^1}{5(1)+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• $n = 2$: $\frac{3^2}{5(2)+1} = \frac{9}{11}$
• $n = 3$: $\frac{3^3}{5(3)+1} = \frac{27}{16}$

Таким образом, первые 3 члена ряда: $\frac{1}{2}, \frac{9}{11}, \frac{27}{16}$.

Ассистент: Конечно, вот подробное решение задачи 3.

Задание 3 (Подробное решение)

Нам дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5n+1}$, и требуется найти его первые три члена. Это означает, что нам нужно вычислить значение выражения $\frac{3^n}{5n+1}$ для $n = 1, 2, 3$.

Шаг 1: Находим первый член ряда (n = 1)

Подставляем $n = 1$ в выражение $\frac{3^n}{5n+1}$:

$a_1 = \frac{3^1}{5(1)+1} = \frac{3}{5+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Таким образом, первый член ряда равен $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Находим второй член ряда (n = 2)

Подставляем $n = 2$ в выражение $\frac{3^n}{5n+1}$:

$a_2 = \frac{3^2}{5(2)+1} = \frac{9}{10+1} = \frac{9}{11}$

Таким образом, второй член ряда равен $\frac{9}{11}$.

Шаг 3: Находим третий член ряда (n = 3)

Подставляем $n = 3$ в выражение $\frac{3^n}{5n+1}$:

$a_3 = \frac{3^3}{5(3)+1} = \frac{27}{15+1} = \frac{27}{16}$

Таким образом, третий член ряда равен $\frac{27}{16}$.

Ответ: Первые три члена ряда: $\frac{1}{2}, \frac{9}{11}, \frac{27}{16}$.

Ассистент: Отлично! Давайте продолжим решать ваши задания.

Задание 4

Найдите неопределенный интеграл $\int (x^4 + 3x^2 + 5) dx$.

Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся правилом интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

$\int (x^4 + 3x^2 + 5) dx = \int x^4 dx + 3 \int x^2 dx + 5 \int dx = \frac{x^5}{5} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = \frac{x^5}{5} + x^3 + 5x + C$

Ответ: $\frac{x^5}{5} + x^3 + 5x + C$

Задание 5

Найдите интервалы выпуклости и вогнутости графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$.

Для определения интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти вторую производную функции и определить знаки второй производной.

1. Находим первую производную:
   $y' = 3x^2 - 12x + 9$
2. Находим вторую производную:
   $y'' = 6x - 12$
3. Находим точки, где вторая производная равна нулю:
   $6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$
4. Определяем знаки второй производной на интервалах:
   • $x < 2$: $y'' < 0$ (функция выпукла вверх)
   • $x > 2$: $y'' > 0$ (функция выпукла вниз)

Таким образом:
* Интервал выпуклости вверх: $(-\infty, 2)$
* Интервал выпуклости вниз: $(2, \infty)$