Ассистент: Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу решить эти задания.
Задание 40.27 (a)
Уравнение: $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$
- Преобразуем $6^x$ как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$:
$3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$
- Разделим обе части уравнения на $3^{2x}$:
$3 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 2 = 0$
$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$
- Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
$3t^2 + t - 2 = 0$
- Решим квадратное уравнение относительно $t$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
- Вернемся к замене:
- $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1$
- $\left(\frac{2}{3}\right)^x = -1$ - решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
Ответ: $x = 1$
Задание 40.27 (б)
Уравнение: $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$
- Преобразуем $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$:
$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$
- Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$:
$2 \cdot \frac{2^{2x}}{5^{2x}} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} - 5 = 0$
$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$
- Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид:
$2t^2 - 3t - 5 = 0$
- Решим квадратное уравнение относительно $t$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
- Вернемся к замене:
- $\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2} \Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} \Rightarrow x = -1$
- $\left(\frac{2}{5}\right)^x = -1$ - решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
Ответ: $x = -1$
Задание 40.27 (в)
Уравнение: $3 \cdot 2^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
- Преобразуем $2^{2x+1}$ как $2 \cdot 2^{2x}$ и $21^x$ как $(3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$:
$3 \cdot 2 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
$6 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$
- Разделим обе части уравнения на $7^{2x}$:
$6 \cdot \frac{2^{2x}}{7^{2x}} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{7^{2x}} - 7 = 0$
$6 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$
- Заметим, что $\left(\frac{3}{7}\right)^x = \left(\frac{2}{7}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Это не упрощает задачу. Попробуем разделить на $2^{2x}$ вместо этого:
$6 - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{2^{2x}} - 7 \cdot \frac{7^{2x}}{2^{2x}} = 0$
$6 - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^x = 0$
Это тоже не упрощает задачу.
Попробуем другой подход. Заметим, что $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$. Разделим обе части на $7^{2x}$:
$6 \cdot \frac{4^x}{49^x} - 4 \cdot \frac{3^x}{7^x} - 7 = 0$
$6 \cdot \left(\frac{4}{49}\right)^x - 4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^x - 7 = 0$
Заметим, что $\frac{4}{49} = \left(\frac{2}{7}\right)^2$ и $\frac{3}{7}$ не связаны напрямую.
Попробуем разделить на $4^x$:
$6 - 4 \cdot \left(\frac{21}{4}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^x = 0$
Это тоже не упрощает задачу.
Похоже, что здесь нужна более сложная замена или метод решения.
