Задание: Преобразовать выражение sin 48° + sin 33°

Для преобразования суммы синусов воспользуемся формулой:

$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a-b}{2})$

В нашем случае, $a = 48^\circ$ и $b = 33^\circ$.

1. Найдем полусумму углов:
   $\frac{a+b}{2} = \frac{48^\circ + 33^\circ}{2} = \frac{81^\circ}{2} = 40.5^\circ$

2. Найдем полуразность углов:
   $\frac{a-b}{2} = \frac{48^\circ - 33^\circ}{2} = \frac{15^\circ}{2} = 7.5^\circ$

3. Подставим значения в формулу:
   $\sin(48^\circ) + \sin(33^\circ) = 2 \sin(40.5^\circ) \cos(7.5^\circ)$

Таким образом, выражение $\sin(48^\circ) + \sin(33^\circ)$ можно преобразовать в $2 \sin(40.5^\circ) \cos(7.5^\circ)$.

Задание: Упростить выражение sin 69° + sin 23° + sin 33° + cos² 23°

1. Преобразуем сумму синусов sin 69° + sin 33°:
   Используем формулу: $\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a-b}{2})$
   $\sin(69^\circ) + \sin(33^\circ) = 2 \sin(\frac{69^\circ + 33^\circ}{2}) \cos(\frac{69^\circ - 33^\circ}{2}) = 2 \sin(51^\circ) \cos(18^\circ)$

2. Перепишем исходное выражение с учетом преобразования:
   $2 \sin(51^\circ) \cos(18^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

3. Заметим, что $\sin(51^\circ) = \cos(90^\circ - 51^\circ) = \cos(39^\circ)$:
   $2 \cos(39^\circ) \cos(18^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

4. Преобразуем $2 \cos(39^\circ) \cos(18^\circ)$ используя формулу $2\cos(a)\cos(b) = \cos(a+b) + \cos(a-b)$:
   $2 \cos(39^\circ) \cos(18^\circ) = \cos(39^\circ + 18^\circ) + \cos(39^\circ - 18^\circ) = \cos(57^\circ) + \cos(21^\circ)$

5. Перепишем выражение:
   $\cos(57^\circ) + \cos(21^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

6. Заметим, что $\cos(57^\circ) = \sin(90^\circ - 57^\circ) = \sin(33^\circ)$:
   $\sin(33^\circ) + \cos(21^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

7. Сгруппируем $\sin(23^\circ)$ и $\cos^2(23^\circ)$:
   $\sin(33^\circ) + \cos(21^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

К сожалению, дальнейшее упрощение без численных методов затруднительно. Выражение можно оставить в виде:

$\sin(33^\circ) + \cos(21^\circ) + \sin(23^\circ) + \cos^2(23^\circ)$

К сожалению, я не могу распознать задание на изображении из-за низкого качества картинки. Пожалуйста, предоставьте более четкое изображение или текст задания.