Язык задания: Russian.

Задание 1

Вычислить предел:

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4}$

Решение:

1. Проверим, является ли предел неопределенностью вида $\frac{0}{0}$:

   Подставим $x = 2$ в числитель и знаменатель:

   • Числитель: $2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$
   • Знаменатель: $(2)^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$

   Так как и числитель, и знаменатель равны 0 при $x = 2$, мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

2. Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: $2x^2 - x - 6$

     Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

     $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

     В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$.

     $x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$

     $x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

     $x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

     Таким образом, $2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}) = (x - 2)(2x + 3)$

   • Знаменатель: $x^2 - 4x + 4$

     Это полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

3. Упростим выражение:

   $\frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4} = \frac{(x - 2)(2x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x + 3}{x - 2}$ (при $x \neq 2$)

4. Вычислим предел упрощенного выражения:

   $\lim_{x \to 2} \frac{2x + 3}{x - 2}$

   При $x \to 2$, числитель стремится к $2(2) + 3 = 7$, а знаменатель стремится к $2 - 2 = 0$. Поскольку числитель стремится к ненулевому числу, а знаменатель к нулю, предел равен бесконечности.

   Однако, нужно рассмотреть односторонние пределы:

   • $\lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 3}{x - 2} = +\infty$ (так как $x - 2 > 0$ при $x > 2$)
   • $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x + 3}{x - 2} = -\infty$ (так как $x - 2 < 0$ при $x < 2$)

   Поскольку односторонние пределы не равны, предел не существует.

Ответ:

Предел $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4}$ не существует (или равен бесконечности в зависимости от контекста).

[Подробнее про разложение на множители]|Объясни, как раскладывать квадратные трехчлены на множители, приведи примеры и формулы
[Односторонние пределы]|Объясни, что такое односторонние пределы и как их вычислять, приведи примеры