Язык задания: Russian

В задании представлена система линейных уравнений. Необходимо решить эту систему.

Задание 1

Решить систему линейных уравнений:

$\begin{cases}
0x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \
x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 2x_4 = 1 \
x_1 + 4x_2 - x_3 + 0x_4 = -3 \
0x_1 + 0x_2 - x_3 + 2x_4 = 0
\end{cases}$

Решение:

1. Упростим систему:

$\begin{cases}
4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \
x_1 + 2x_4 = 1 \
x_1 + 4x_2 - x_3 = -3 \
-x_3 + 2x_4 = 0
\end{cases}$

2. Выразим $x_1$ из второго уравнения:

$x_1 = 1 - 2x_4$

3. Подставим выражение для $x_1$ в третье уравнение:

$(1 - 2x_4) + 4x_2 - x_3 = -3$
$4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4$

4. Теперь у нас есть следующая система:

$\begin{cases}
4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \
4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4 \
-x_3 + 2x_4 = 0
\end{cases}$

5. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x_2 - x_3 + 3x_4) - (4x_2 - x_3 - 2x_4) = 1 - (-4)$
$5x_4 = 5$
$x_4 = 1$

6. Подставим $x_4 = 1$ в уравнение $-x_3 + 2x_4 = 0$:

$-x_3 + 2(1) = 0$
$x_3 = 2$

7. Подставим $x_4 = 1$ и $x_3 = 2$ в уравнение $4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1$:

$4x_2 - 2 + 3(1) = 1$
$4x_2 + 1 = 1$
$4x_2 = 0$
$x_2 = 0$

8. Подставим $x_4 = 1$ в уравнение $x_1 = 1 - 2x_4$:

$x_1 = 1 - 2(1)$
$x_1 = -1$

Ответ:

$x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_4 = 1$