Задание 8

Для доказательства равенства или неравенства целых неотрицательных чисел с использованием теоретико-множественного подхода, мы будем опираться на определение натуральных чисел по фон Нейману и аксиому экстенсиональности.

📚 Основные понятия:

1. Определение натуральных чисел (по фон Нейману):

   • $\text{0} = \emptyset$ (пустое множество)
   • $\text{1} = {0} = {\emptyset}$
   • $\text{2} = {0, 1} = {\emptyset, {\emptyset}}$
   • $\text{n+1} = \text{n} \cup {\text{n}}$
     Таким образом, каждое натуральное число (n) определяется как множество, содержащее все натуральные числа, меньшие (n).

2. Аксиома экстенсиональности (равенство множеств):
   Два множества (A) и (B) равны тогда и только тогда, когда они содержат одни и те же элементы. Формально: (A = B \iff (\forall x)(x \in A \iff x \in B)).

Доказательство (4 = 4)

1. Определение числа 4:
   Согласно определению фон Неймана, число 4 представляется как множество, содержащее все предыдущие натуральные числа:
   $\text{4} = {0, 1, 2, 3}$

2. Применение аксиомы экстенсиональности:
   Пусть (A = 4) и (B = 4).
   Тогда (A = {0, 1, 2, 3}) и (B = {0, 1, 2, 3}).
   Очевидно, что каждый элемент множества (A) (т.е. 0, 1, 2, 3) является элементом множества (B), и наоборот. Поскольку множества (A) и (B) содержат абсолютно одинаковые элементы, по аксиоме экстенсиональности они равны.

   ✅ Следовательно, (4 = 4).

Доказательство (6 \neq 5)

1. Определение чисел 5 и 6:

   • $\text{5} = {0, 1, 2, 3, 4}$
   • $\text{6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$

2. Применение аксиомы экстенсиональности:
   Для того чтобы два множества были равны, они должны содержать абсолютно одинаковые элементы. Если мы найдем хотя бы один элемент, который принадлежит одному множеству, но не принадлежит другому, то множества не равны.

   Рассмотрим элемент (5):
   * Элемент (5) принадлежит множеству, представляющему число 6: (5 \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}).
   * Элемент (5) НЕ принадлежит множеству, представляющему число 5: (5 \notin {0, 1, 2, 3, 4}).

   Поскольку существует элемент (число 5), который содержится в множестве, представляющем 6, но отсутствует в множестве, представляющем 5, по аксиоме экстенсиональности эти множества не равны.

   ✅ Следовательно, (6 \neq 5).