Задание a

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left(\frac{x-3}{3}\right)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = n \cdot \left(\frac{x-3}{3}\right)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = (n+1) \cdot \left(\frac{x-3}{3}\right)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(n+1) \cdot \left(\frac{x-3}{3}\right)^{n+1}}{n \cdot \left(\frac{x-3}{3}\right)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+1}{n} \cdot \frac{x-3}{3}\right|$$
   $$L = \left|\frac{x-3}{3}\right| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$$
   $$L = \left|\frac{x-3}{3}\right| \cdot 1 = \left|\frac{x-3}{3}\right|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$\left|\frac{x-3}{3}\right| < 1$$
   $$-1 < \frac{x-3}{3} < 1$$
   $$-3 < x-3 < 3$$
   $$0 < x < 6$$
   Интервал сходимости: $(0, 6)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ находится внутри интервала сходимости $(0, 6)$, так как $0 < 2 < 6$.
   Следовательно, ряд сходится в точке $x=2$.

Вывод: Ряд сходится в точке $x=2$.

Задание b

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n+2} \cdot x^{-n}$.

1. Перепишем общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{(-2)^n}{n+2} \cdot x^{-n} = \frac{(-2)^n}{(n+2)x^n} = \frac{1}{n+2} \cdot \left(\frac{-2}{x}\right)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{1}{n+1+2} \cdot \left(\frac{-2}{x}\right)^{n+1} = \frac{1}{n+3} \cdot \left(\frac{-2}{x}\right)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{1}{n+3} \cdot \left(\frac{-2}{x}\right)^{n+1}}{\frac{1}{n+2} \cdot \left(\frac{-2}{x}\right)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+2}{n+3} \cdot \frac{-2}{x}\right|$$
   $$L = \left|\frac{-2}{x}\right| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+3}$$
   $$L = \left|\frac{2}{x}\right| \cdot 1 = \left|\frac{2}{x}\right|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$\left|\frac{2}{x}\right| < 1$$
   $$\frac{2}{|x|} < 1$$
   $$|x| > 2$$
   Интервал сходимости: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ является граничной для интервала сходимости. В этом случае признак Даламбера не дает однозначного ответа, и нужно подставить $x=2$ в исходный ряд.
   Подставим $x=2$ в ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n+2} \cdot 2^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+2)2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2^n}{(n+2)2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+2}$$
   Это знакопеременный ряд. Проверим его сходимость по признаку Лейбница:
   a. $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0$. (Условие выполнено)
   b. $b_n = \frac{1}{n+2}$ является убывающей последовательностью, так как $n+2 < n+1+2 \implies \frac{1}{n+2} > \frac{1}{n+3}$. (Условие выполнено)
   Так как оба условия признака Лейбница выполнены, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+2}$ сходится (условно).

Вывод: Ряд сходится в точке $x=2$.

Задание c

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}} \cdot (x-1)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}} \cdot (x-1)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[3]{n+1+1}} \cdot (x-1)^{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[3]{n+2}} \cdot (x-1)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[3]{n+2}} \cdot (x-1)^{n+1}}{\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}} \cdot (x-1)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \cdot \frac{\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[3]{n+2}} \cdot \frac{(x-1)^{n+1}}{(x-1)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|-1 \cdot \sqrt[3]{\frac{n+1}{n+2}} \cdot (x-1)\right|$$
   $$L = |x-1| \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n+1}{n+2}} = |x-1| \cdot \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 1/n}{1 + 2/n}}$$
   $$L = |x-1| \cdot \sqrt[3]{1} = |x-1|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$|x-1| < 1$$
   $$-1 < x-1 < 1$$
   $$0 < x < 2$$
   Интервал сходимости: $(0, 2)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ является граничной для интервала сходимости. Подставим $x=2$ в исходный ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}} \cdot (2-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}} \cdot 1^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}}$$
   Это знакопеременный ряд. Проверим его сходимость по признаку Лейбница:
   a. $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n+1}} = 0$. (Условие выполнено)
   b. $b_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}$ является убывающей последовательностью, так как $\sqrt[3]{n+1} < \sqrt[3]{n+2} \implies \frac{1}{\sqrt[3]{n+1}} > \frac{1}{\sqrt[3]{n+2}}$. (Условие выполнено)
   Так как оба условия признака Лейбница выполнены, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+1}}$ сходится (условно).

Вывод: Ряд сходится в точке $x=2$.

Задание d

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+4} \cdot (x-4)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{1}{n+4} \cdot (x-4)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{1}{n+1+4} \cdot (x-4)^{n+1} = \frac{1}{n+5} \cdot (x-4)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{1}{n+5} \cdot (x-4)^{n+1}}{\frac{1}{n+4} \cdot (x-4)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+4}{n+5} \cdot (x-4)\right|$$
   $$L = |x-4| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+5}$$
   $$L = |x-4| \cdot 1 = |x-4|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$|x-4| < 1$$
   $$-1 < x-4 < 1$$
   $$3 < x < 5$$
   Интервал сходимости: $(3, 5)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ находится вне интервала сходимости $(3, 5)$, так как $2 < 3$.
   Следовательно, ряд расходится в точке $x=2$.

Вывод: Ряд расходится в точке $x=2$.

Задание e

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{(n+3)(n+5)} \cdot (x-3)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{n+4}{(n+3)(n+5)} \cdot (x-3)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{(n+1)+4}{((n+1)+3)((n+1)+5)} \cdot (x-3)^{n+1} = \frac{n+5}{(n+4)(n+6)} \cdot (x-3)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{n+5}{(n+4)(n+6)} \cdot (x-3)^{n+1}}{\frac{n+4}{(n+3)(n+5)} \cdot (x-3)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(n+5)(n+3)(n+5)}{(n+4)(n+6)(n+4)} \cdot (x-3)\right|$$
   $$L = |x-3| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+5)^2(n+3)}{(n+4)^2(n+6)}$$
   $$L = |x-3| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+10n+25)(n+3)}{(n^2+8n+16)(n+6)}$$
   $$L = |x-3| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^3+13n^2+55n+75}{n^3+14n^2+64n+96}$$
   Разделим числитель и знаменатель на $n^3$:
   $$L = |x-3| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1+13/n+55/n^2+75/n^3}{1+14/n+64/n^2+96/n^3}$$
   $$L = |x-3| \cdot 1 = |x-3|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$|x-3| < 1$$
   $$-1 < x-3 < 1$$
   $$2 < x < 4$$
   Интервал сходимости: $(2, 4)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ является граничной для интервала сходимости. Подставим $x=2$ в исходный ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{(n+3)(n+5)} \cdot (2-3)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{(n+3)(n+5)} \cdot (-1)^n$$
   Это знакопеременный ряд. Проверим его сходимость по признаку Лейбница:
   a. $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{(n+3)(n+5)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+4}{n^2+8n+15} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n+4/n^2}{1+8/n+15/n^2} = 0$. (Условие выполнено)
   b. Проверим, является ли $b_n = \frac{n+4}{n^2+8n+15}$ убывающей последовательностью. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x+4}{x^2+8x+15}$.
   Найдем производную:
   $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+8x+15) - (x+4) \cdot (2x+8)}{(x^2+8x+15)^2}$$
   $$f'(x) = \frac{x^2+8x+15 - (2x^2+8x+8x+32)}{(x^2+8x+15)^2}$$
   $$f'(x) = \frac{x^2+8x+15 - 2x^2-16x-32}{(x^2+8x+15)^2}$$
   $$f'(x) = \frac{-x^2-8x-17}{(x^2+8x+15)^2}$$
   Для $x \ge 1$, числитель $-x^2-8x-17$ всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$, и последовательность $b_n$ убывает.
   Так как оба условия признака Лейбница выполнены, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(n+4)}{(n+3)(n+5)}$ сходится (условно).

Вывод: Ряд сходится в точке $x=2$.

Задание f

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n+n^2} \cdot x^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{(-1)^n}{2^n+n^2} \cdot x^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}+(n+1)^2} \cdot x^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}+(n+1)^2} \cdot x^{n+1}}{\frac{(-1)^n}{2^n+n^2} \cdot x^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \cdot \frac{2^n+n^2}{2^{n+1}+(n+1)^2} \cdot x\right|$$
   $$L = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2^n+n^2}{2^{n+1}+(n+1)^2}$$
   Разделим числитель и знаменатель на $2^n$:
   $$L = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1+n^2/2^n}{2+(n+1)^2/2^n}$$
   Так как $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0$ (экспонента растет быстрее полинома):
   $$L = |x| \cdot \frac{1+0}{2+0} = \frac{|x|}{2}$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$\frac{|x|}{2} < 1$$
   $$|x| < 2$$
   $$-2 < x < 2$$
   Интервал сходимости: $(-2, 2)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ является граничной для интервала сходимости. Подставим $x=2$ в исходный ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n+n^2} \cdot 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{2^n+n^2}$$
   Проверим необходимое условие сходимости: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
   $$a_n = \frac{(-1)^n 2^n}{2^n+n^2} = \frac{(-1)^n}{1+n^2/2^n}$$
   $$ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-1)^n}{1+n^2/2^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+n^2/2^n} = \frac{1}{1+0} = 1 \ne 0$$
   Так как предел общего члена ряда не равен нулю, ряд расходится.

Вывод: Ряд расходится в точке $x=2$.

Задание g

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \cdot (x-1)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \cdot (x-1)^n$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{((n+1)+2)((n+1)+3)} \cdot (x-1)^{n+1} = \frac{n+2}{(n+3)(n+4)} \cdot (x-1)^{n+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{n+2}{(n+3)(n+4)} \cdot (x-1)^{n+1}}{\frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \cdot (x-1)^n}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(n+2)(n+2)(n+3)}{(n+3)(n+4)(n+1)} \cdot (x-1)\right|$$
   $$L = |x-1| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)^2}{(n+4)(n+1)}$$
   $$L = |x-1| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+4}{n^2+5n+4}$$
   Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:
   $$L = |x-1| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1+4/n+4/n^2}{1+5/n+4/n^2}$$
   $$L = |x-1| \cdot 1 = |x-1|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$|x-1| < 1$$
   $$-1 < x-1 < 1$$
   $$0 < x < 2$$
   Интервал сходимости: $(0, 2)$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ является граничной для интервала сходимости. Подставим $x=2$ в исходный ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \cdot (2-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \cdot 1^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)(n+3)}$$
   Это знакоположительный ряд. Используем признак сравнения с гармоническим рядом $p$-ряда. Для больших $n$, общий член ряда $a_n$ ведет себя как:
   $$a_n = \frac{n+1}{(n+2)(n+3)} \approx \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$$
   Сравним с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ (гармонический ряд, который расходится).
   Вычислим предел отношения:
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{n^2+5n+6}$$
   $$= \lim_{n \to \infty} \frac{1+1/n}{1+5/n+6/n^2} = 1$$
   Так как предел равен конечному положительному числу (1), и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится, то по предельному признаку сравнения исходный ряд также расходится.

Вывод: Ряд расходится в точке $x=2$.

Задание h

Для определения сходимости степенного ряда в точке $x=2$, мы используем признак Даламбера. Ряд имеет вид $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^4+n+1} \cdot (-x)^n$.

1. Определим общий член ряда $a_n$:
   $a_n = \frac{2^n}{n^4+n+1} \cdot (-x)^n = \frac{2^n(-1)^n x^n}{n^4+n+1} = \frac{(-2x)^n}{n^4+n+1}$

2. Найдем $a_{n+1}$:
   $a_{n+1} = \frac{(-2x)^{n+1}}{(n+1)^4+(n+1)+1}$

3. Вычислим предел отношения $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(-2x)^{n+1}}{(n+1)^4+(n+1)+1}}{\frac{(-2x)^n}{n^4+n+1}}\right|$$
   $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(-2x)^{n+1}}{(-2x)^n} \cdot \frac{n^4+n+1}{(n+1)^4+(n+1)+1}\right|$$
   $$L = |-2x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^4+n+1}{(n+1)^4+(n+1)+1}$$
   $$L = 2|x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^4+n+1}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1+n+1+1}$$
   $$L = 2|x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^4+n+1}{n^4+4n^3+6n^2+5n+3}$$
   Разделим числитель и знаменатель на $n^4$:
   $$L = 2|x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1+1/n^3+1/n^4}{1+4/n+6/n^2+5/n^3+3/n^4}$$
   $$L = 2|x| \cdot 1 = 2|x|$$

4. Условие сходимости:
   Ряд сходится, если $L < 1$. То есть:
   $$2|x| < 1$$
   $$|x| < \frac{1}{2}$$
   $$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$$
   Интервал сходимости: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

5. Проверим сходимость в точке $x=2$:
   Точка $x=2$ находится вне интервала сходимости $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, так как $2 > \frac{1}{2}$.
   Следовательно, ряд расходится в точке $x=2$.

Вывод: Ряд расходится в точке $x=2$.

Задание 1

Вычислите вторую частную производную функции $f = \frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2}$ по $y$ в точке $A(2;4)$.

Для решения этой задачи нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую частную производную функции $f$ по $y$, то есть $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2. Найти вторую частную производную функции $f$ по $y$, то есть $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$.
3. Подставить координаты точки $A(2;4)$ в полученное выражение.

Шаг 1: Нахождение первой частной производной по $y$

Функция задана как $f(x,y) = \frac{x^2 + xy}{x^2 + y^2}$.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^2 + xy$ и $v = x^2 + y^2$.

Найдем частные производные $u$ и $v$ по $y$:

• $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + xy) = 0 + x = x$
• $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 0 + 2y = 2y$

Теперь подставим это в формулу для частной производной:

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + y^2) - (x^2 + xy)(2y)}{(x^2 + y^2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 + xy^2 - (2x^2y + 2xy^2)}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 + xy^2 - 2x^2y - 2xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$

Объединим подобные члены в числителе:

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 - 2x^2y - xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$

Шаг 2: Нахождение второй частной производной по $y$

Теперь нам нужно найти $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3 - 2x^2y - xy^2}{(x^2 + y^2)^2} \right)$.

Снова используем правило дифференцирования частного. Пусть $U = x^3 - 2x^2y - xy^2$ и $V = (x^2 + y^2)^2$.

Найдем частные производные $U$ и $V$ по $y$:

• $\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - 2x^2y - xy^2) = 0 - 2x^2 - 2xy = -2x^2 - 2xy$
• $\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}((x^2 + y^2)^2) = 2(x^2 + y^2) \cdot (2y) = 4y(x^2 + y^2)$

Теперь подставим это в формулу для частной производной:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2)^2 - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y(x^2 + y^2))}{((x^2 + y^2)^2)^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2)^2 - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y(x^2 + y^2))}{(x^2 + y^2)^4}$

Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ из числителя:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)[(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2) - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y)]}{(x^2 + y^2)^4}$

Сократим $(x^2 + y^2)$:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2) - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y)}{(x^2 + y^2)^3}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель: $(-2x^2 - 2xy)(x^2 + y^2) - (x^3 - 2x^2y - xy^2)(4y)$
$= (-2x^4 - 2x^2y^2 - 2x^3y - 2xy^3) - (4x^3y - 8x^2y^2 - 4xy^3)$
$= -2x^4 - 2x^2y^2 - 2x^3y - 2xy^3 - 4x^3y + 8x^2y^2 + 4xy^3$

Объединим подобные члены:

$= -2x^4 + (-2x^2y^2 + 8x^2y^2) + (-2x^3y - 4x^3y) + (-2xy^3 + 4xy^3)$
$= -2x^4 + 6x^2y^2 - 6x^3y + 2xy^3$

Таким образом, вторая частная производная:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{-2x^4 + 6x^2y^2 - 6x^3y + 2xy^3}{(x^2 + y^2)^3}$

Шаг 3: Подстановка координат точки $A(2;4)$

Подставим $x=2$ и $y=4$ в полученное выражение:

Числитель:
$-2(2)^4 + 6(2)^2(4)^2 - 6(2)^3(4) + 2(2)(4)^3$
$= -2(16) + 6(4)(16) - 6(8)(4) + 4(64)$
$= -32 + 6(64) - 6(32) + 256$
$= -32 + 384 - 192 + 256$
$= 160 + 64 = 224

Знаменатель:
$(x^2 + y^2)^3 = (2^2 + 4^2)^3 = (4 + 16)^3 = (20)^3 = 8000$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \Big|_{(2,4)} = \frac{224}{8000}$

Сократим дробь. Разделим на 16:

$224 \div 16 = 14$
$8000 \div 16 = 500$

Получаем $\frac{14}{500}$.

Сократим еще на 2:

$\frac{14 \div 2}{500 \div 2} = \frac{7}{250}$

Окончательный ответ:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \Big|_{(2,4)} = \frac{7}{250}$

Задание 2

Функция $f(x)$ представлена в виде суммы ряда $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(x+5)^n + 10(x+6)^n}{8^n}$. Вычислите $f(1)$.

Для решения этой задачи нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Разбить исходный ряд на сумму двух геометрических рядов.
2. Определить первый член и знаменатель каждого геометрического ряда.
3. Вычислить сумму каждого геометрического ряда, используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a}{1-r}$, где $|r| < 1$.
4. Подставить $x=1$ в полученное выражение для $f(x)$.

Шаг 1: Разделение ряда

Данный ряд можно разбить на сумму двух отдельных рядов:

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(x+5)^n}{8^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10(x+6)^n}{8^n}$

$f(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+5}{8}\right)^n + 10 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+6}{8}\right)^n$

Шаг 2: Анализ каждого геометрического ряда

Каждый из этих рядов является геометрическим. Для геометрического ряда $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ (или $\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1}$), первый член $a_1$ и знаменатель $r$ определяются следующим образом:

Для первого ряда: $2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+5}{8}\right)^n$

• Первый член ($n=1$): $a_1 = 2 \left(\frac{x+5}{8}\right)^1 = \frac{2(x+5)}{8} = \frac{x+5}{4}$
• Знаменатель: $r_1 = \frac{x+5}{8}$

Для второго ряда: $10 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x+6}{8}\right)^n$

• Первый член ($n=1$): $a_2 = 10 \left(\frac{x+6}{8}\right)^1 = \frac{10(x+6)}{8} = \frac{5(x+6)}{4}$
• Знаменатель: $r_2 = \frac{x+6}{8}$

Шаг 3: Вычисление суммы каждого ряда

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{a_1}{1-r}$, при условии $|r| < 1$.

Сумма первого ряда ($S_1$):

$S_1 = \frac{\frac{x+5}{4}}{1 - \frac{x+5}{8}} = \frac{\frac{x+5}{4}}{\frac{8 - (x+5)}{8}} = \frac{\frac{x+5}{4}}{\frac{8 - x - 5}{8}} = \frac{\frac{x+5}{4}}{\frac{3 - x}{8}}$

$S_1 = \frac{x+5}{4} \cdot \frac{8}{3-x} = \frac{2(x+5)}{3-x}$

Условие сходимости: $|r_1| < 1 \Rightarrow \left|\frac{x+5}{8}\right| < 1 \Rightarrow -8 < x+5 < 8 \Rightarrow -13 < x < 3$.

Сумма второго ряда ($S_2$):

$S_2 = \frac{\frac{5(x+6)}{4}}{1 - \frac{x+6}{8}} = \frac{\frac{5(x+6)}{4}}{\frac{8 - (x+6)}{8}} = \frac{\frac{5(x+6)}{4}}{\frac{8 - x - 6}{8}} = \frac{\frac{5(x+6)}{4}}{\frac{2 - x}{8}}$

$S_2 = \frac{5(x+6)}{4} \cdot \frac{8}{2-x} = \frac{10(x+6)}{2-x}$

Условие сходимости: $|r_2| < 1 \Rightarrow \left|\frac{x+6}{8}\right| < 1 \Rightarrow -8 < x+6 < 8 \Rightarrow -14 < x < 2$.

Область сходимости для $f(x)$ является пересечением областей сходимости обоих рядов, то есть $-13 < x < 2$.

Теперь объединим суммы:

$f(x) = S_1 + S_2 = \frac{2(x+5)}{3-x} + \frac{10(x+6)}{2-x}$

Шаг 4: Вычисление $f(1)$

Точка $x=1$ находится в области сходимости (так как $-13 < 1 < 2$). Подставим $x=1$ в выражение для $f(x)$:

$f(1) = \frac{2(1+5)}{3-1} + \frac{10(1+6)}{2-1}$

$f(1) = \frac{2(6)}{2} + \frac{10(7)}{1}$

$f(1) = \frac{12}{2} + \frac{70}{1}$

$f(1) = 6 + 70$

$f(1) = 76$

Окончательный ответ:

$f(1) = 76$

Задание 3

Вычислите частную производную $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ функции $f(x,y) = y^4 - x^3y^2 + 5x^3y^3 - 5x^4 - 2x^4y^4 - 2x^5y$ в точке $A(1;3)$.

Для решения этой задачи нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти частную производную функции $f(x,y)$ по $y$, то есть $\frac{\partial f}{\partial y}$.
2. Подставить координаты точки $A(1;3)$ в полученное выражение.

Шаг 1: Нахождение частной производной по $y$

Функция задана как $f(x,y) = y^4 - x^3y^2 + 5x^3y^3 - 5x^4 - 2x^4y^4 - 2x^5y$.

При нахождении частной производной по $y$, все члены, не содержащие $y$, или содержащие только $x$, рассматриваются как константы, и их производная равна нулю. Члены, содержащие $x$, умноженные на $y$, рассматриваются как константа, умноженная на функцию от $y$.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^4) - \frac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(5x^3y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(5x^4) - \frac{\partial}{\partial y}(2x^4y^4) - \frac{\partial}{\partial y}(2x^5y)$

Вычислим производную для каждого члена:

• $\frac{\partial}{\partial y}(y^4) = 4y^3$
• $\frac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) = x^3 \cdot 2y = 2x^3y$
• $\frac{\partial}{\partial y}(5x^3y^3) = 5x^3 \cdot 3y^2 = 15x^3y^2$
• $\frac{\partial}{\partial y}(5x^4) = 0$ (так как $5x^4$ не зависит от $y$)
• $\frac{\partial}{\partial y}(2x^4y^4) = 2x^4 \cdot 4y^3 = 8x^4y^3$
• $\frac{\partial}{\partial y}(2x^5y) = 2x^5 \cdot 1 = 2x^5$

Теперь объединим все полученные производные:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 0 - 8x^4y^3 - 2x^5$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 8x^4y^3 - 2x^5$

Шаг 2: Подстановка координат точки $A(1;3)$

Подставим $x=1$ и $y=3$ в полученное выражение для $\frac{\partial f}{\partial y}$:

$\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 4(3)^3 - 2(1)^3(3) + 15(1)^3(3)^2 - 8(1)^4(3)^3 - 2(1)^5$

Вычислим каждое слагаемое:

• $4(3)^3 = 4 \cdot 27 = 108$
• $-2(1)^3(3) = -2 \cdot 1 \cdot 3 = -6$
• $15(1)^3(3)^2 = 15 \cdot 1 \cdot 9 = 135$
• $-8(1)^4(3)^3 = -8 \cdot 1 \cdot 27 = -216$
• $-2(1)^5 = -2 \cdot 1 = -2$

Теперь сложим все значения:

$\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 108 - 6 + 135 - 216 - 2$

$= 102 + 135 - 216 - 2$

$= 237 - 216 - 2$

$= 21 - 2$

$= 19$

Окончательный ответ:

$\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 19$

Задание 4

От какого количества произвольных постоянных зависит общее решение дифференциального уравнения $y'y^3 = 3(x+y)^2$?

Для решения этой задачи нам нужно определить порядок дифференциального уравнения. Количество произвольных постоянных в общем решении обыкновенного дифференциального уравнения равно его порядку.

Шаг 1: Определение порядка дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, входящей в уравнение.

Данное уравнение: $y'y^3 = 3(x+y)^2$

В этом уравнении присутствует только одна производная: $y'$.

• $y'$ обозначает первую производную функции $y$ по $x$, то есть $\frac{dy}{dx}$.

Наивысший порядок производной в этом уравнении равен 1.

Шаг 2: Связь порядка уравнения с количеством произвольных постоянных

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения $n$-го порядка содержит $n$ произвольных постоянных.

Поскольку данное дифференциальное уравнение имеет первый порядок (наивысшая производная - $y'$), его общее решение будет зависеть от одной произвольной постоянной.

Окончательный ответ:

Общее решение данного дифференциального уравнения зависит от одной произвольной постоянной.

Задание 5

Выполните следующие поразрядные операции:

1. $-10 \land 117$ (конъюнкция)
2. $10 \lor -117$ (дизъюнкция)
3. $10 \ll 3$ (сдвиг влево)
4. $(-10 \lor \neg 117) \land -36 \lor -11$ (комбинированная операция)

Для выполнения этих операций нам нужно представить числа в двоичном виде, используя дополнительный код для отрицательных чисел. Предположим, что мы используем 32-битные целые числа, так как это стандарт для большинства систем.

Общие принципы для отрицательных чисел (дополнительный код):

1. Прямой код: Представить модуль числа в двоичном виде.
2. Обратный код: Инвертировать все биты прямого кода.
3. Дополнительный код: Прибавить 1 к обратному коду.

Пример для $-10$ (32-битное представление):

• $10_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 00001010_2$
• Обратный код: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11110101_2$
• Дополнительный код ($-10$): $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11110110_2$

Пример для $117$ (32-битное представление):

• $117_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 01110101_2$

Пример для $-117$ (32-битное представление):

• $117_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 01110101_2$
• Обратный код: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 10001010_2$
• Дополнительный код ($-117$): $11111111\ 11111111\ 11111111\ 10001011_2$

Пример для $-36$ (32-битное представление):

• $36_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 00100100_2$
• Обратный код: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11011011_2$
• Дополнительный код ($-36$): $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11011100_2$

Пример для $-11$ (32-битное представление):

• $11_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 00001011_2$
• Обратный код: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11110100_2$
• Дополнительный код ($-11$): $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11110101_2$

1. Конъюнкция: $-10 \land 117$

• $-10_{10} = \dots 11110110_2$
• $117_{10} = \dots 01110101_2$

Выполняем побитовую операцию И (AND):

  ...11110110  (-10)
& ...01110101  (117)
-------------
  ...01110100

Результат: $00000000\ 00000000\ 00000000\ 01110100_2$

Переводим в десятичное представление: $01110100_2 = 64 + 32 + 16 + 4 = 116_{10}$

Ответ: 116

2. Дизъюнкция: $10 \lor -117$

• $10_{10} = \dots 00001010_2$
• $-117_{10} = \dots 10001011_2$

Выполняем побитовую операцию ИЛИ (OR):

  ...00001010  (10)
| ...10001011  (-117)
-------------
  ...10001011

Результат: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 10001011_2$

Это дополнительный код отрицательного числа. Чтобы найти его десятичное значение:

1. Вычитаем 1: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 10001010_2$
2. Инвертируем биты: $00000000\ 00000000\ 00000000\ 01110101_2$
3. Переводим в десятичное: $01110101_2 = 64 + 32 + 16 + 4 + 1 = 117_{10}$

Так как исходное число было отрицательным (старший бит 1), результат $-117$.

Ответ: -117

3. Сдвиг влево: $10 \ll 3$

• $10_{10} = 00001010_2$

Сдвиг влево на 3 позиции эквивалентен умножению на $2^3 = 8$.

$00001010_2 \ll 3 = 01010000_2$

Переводим в десятичное представление: $01010000_2 = 64 + 16 = 80_{10}$

Проверка: $10 \times 8 = 80$.

Ответ: 80

4. Комбинированная операция: $(-10 \lor \neg 117) \land -36 \lor -11$

Сначала вычислим внутренние части:

Часть A: $\neg 117$ (побитовое НЕ)

• $117_{10} = 00000000\ 00000000\ 00000000\ 01110101_2$
• $\neg 117 = 11111111\ 11111111\ 11111111\ 10001010_2$

Это дополнительный код для $-118$. (Проверка: инвертируем $01110101_2$ получаем $10001010_2$, это $-118$ в дополнительном коде).

Часть B: $-10 \lor (\neg 117)$

• $-10_{10} = \dots 11110110_2$
• $\neg 117_{10} = \dots 10001010_2$

Выполняем побитовую операцию ИЛИ (OR):

  ...11110110  (-10)
| ...10001010  (-118)
-------------
  ...11111110

Результат: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11111110_2$

Это дополнительный код для $-2$. (Проверка: инвертируем $00000001_2$ получаем $11111110_2$, прибавляем 1 получаем $11111111_2$, это $-1$ в дополнительном коде. Ошибка в расчете. $11111110_2$ это $-2$.)

Часть C: (Результат Части B) $\land -36$

• $-2_{10} = \dots 11111110_2$
• $-36_{10} = \dots 11011100_2$

Выполняем побитовую операцию И (AND):

  ...11111110  (-2)
& ...11011100  (-36)
-------------
  ...11011100

Результат: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11011100_2$

Это дополнительный код для $-36$.

Часть D: (Результат Части C) $\lor -11$

• $-36_{10} = \dots 11011100_2$
• $-11_{10} = \dots 11110101_2$

Выполняем побитовую операцию ИЛИ (OR):

  ...11011100  (-36)
| ...11110101  (-11)
-------------
  ...11111101

Результат: $11111111\ 11111111\ 11111111\ 11111101_2$

Это дополнительный код для $-3$. (Проверка: инвертируем $00000010_2$ получаем $11111101_2$, прибавляем 1 получаем $11111110_2$, это $-2$ в дополнительном коде. Ошибка в расчете. $11111101_2$ это $-3$.)

Ответ: -3

К сожалению, я не могу распознать конкретные задания или вопросы, которые нужно решить на основе предоставленного изображения. Изображение содержит таблицу с данными измерений, вероятно, относящихся к лабораторной работе по изучению фотоэффекта. Чтобы помочь, мне нужны конкретные вопросы или задачи, связанные с этими данными (например, рассчитать работу выхода, определить постоянную Планка и т.д.).

К сожалению, я не могу обработать ваш запрос, так как мне нужно больше информации о задании. Пожалуйста, предоставьте изображение или более подробное описание лабораторной работы Столетова по изучению фотоэффекта.

К сожалению, я не могу распознать конкретные задания или вопросы, которые нужно решить на основе предоставленного изображения. Изображение содержит таблицу с данными измерений, вероятно, относящихся к лабораторной работе по изучению фотоэффекта. Чтобы помочь, мне нужны конкретные вопросы или задачи, связанные с этими данными (например, рассчитать работу выхода, определить постоянную Планка и т.д.).

Задание: Вычислить частоту $\nu$

Дана формула: $\nu = \frac{3 \times 10^8}{530 \times 10^{-9}}$

1. Преобразуем выражение:
   $\nu = \frac{3 \times 10^8}{530 \times 10^{-9}} = \frac{3}{530} \times \frac{10^8}{10^{-9}}$

2. Упростим степени:
   $\nu = \frac{3}{530} \times 10^{8-(-9)} = \frac{3}{530} \times 10^{17}$

3. Вычислим дробь:
   $\frac{3}{530} \approx 0.00566$

4. Подставим значение обратно в формулу:
   $\nu = 0.00566 \times 10^{17} = 5.66 \times 10^{-3} \times 10^{17} = 5.66 \times 10^{14}$

5. Запишем ответ с единицами измерения:
   $\nu \approx 5.66 \times 10^{14} \text{ Гц}$

Ответ: $\nu \approx 5.66 \times 10^{14} \text{ Гц}$

Задание: Построение графика зависимости запирающего напряжения (Uз) от частоты (ν)

Для построения графика используем предоставленные данные:

График зависимости запирающего напряжения от частоты должен быть линейным, что соответствует уравнению Эйнштейна для фотоэффекта: $h\nu = A_{вых} + eU_з$, где $h$ - постоянная Планка, $\nu$ - частота, $A_{вых}$ - работа выхода, $e$ - элементарный заряд, $U_з$ - запирающее напряжение.

Из этого уравнения можно выразить $U_з$:
$U_з = \frac{h}{e}\nu - \frac{A_{вых}}{e}$

Это уравнение имеет вид $y = kx + b$, где $y = U_з$, $x = \nu$, $k = \frac{h}{e}$ (тангенс угла наклона прямой), и $b = -\frac{A_{вых}}{e}$ (отрезок, отсекаемый на оси Y).

Построим график, откладывая частоту по оси X и запирающее напряжение по оси Y.

Задание: Анализ графика

График, построенный на основе предоставленных данных, представляет собой прямую линию. Это подтверждает линейную зависимость запирающего напряжения $U_з$ от частоты $\nu$, как предсказывает уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$U_з = \frac{h}{e}\nu - \frac{A_{вых}}{e}$

Из этого уравнения видно, что:

• Наклон прямой ($k$) равен $\frac{h}{e}$. Это позволяет экспериментально определить отношение постоянной Планка к элементарному заряду. Чем больше наклон, тем больше это отношение.
• Точка пересечения с осью Y ($b$) равна $-\frac{A_{вых}}{e}$. Это позволяет определить работу выхода $A_{вых}$ для данного материала катода.
• Точка пересечения с осью X (частота отсечки $\nu_0$) соответствует $U_з = 0$. В этой точке $h\nu_0 = A_{вых}$, что означает, что энергия фотона равна работе выхода. При частотах ниже $\nu_0$ фотоэффект не наблюдается.

Линейный характер зависимости $U_з(\nu)$ является одним из ключевых экспериментальных подтверждений квантовой природы света и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта.

Конечно, давайте разберем решение более подробно.

Задание: Вычислить частную производную $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ функции $f(x,y) = y^4 - x^3y^2 + 5x^3y^3 - 5x^4 - 2x^4y^4 - 2x^5y$ в точке $A(1;3)$.

🎯 Основная идея

Нам нужно найти "скорость изменения" функции $f(x,y)$ только по направлению оси $Y$. Для этого мы используем операцию взятия частной производной по $y$.

Ключевое правило: Когда мы дифференцируем по переменной $y$, мы считаем переменную $x$ (и любые выражения, зависящие только от $x$) константой, то есть обычным числом.

Представьте, что $x$ - это просто какое-то число, например, 5. Тогда функция выглядела бы как $f(y) = y^4 - 5^3y^2 + 5 \cdot 5^3y^3 - 5 \cdot 5^4 - 2 \cdot 5^4y^4 - 2 \cdot 5^5y$. И мы бы просто находили производную этой функции от $y$. Мы делаем то же самое, но оставляем $x$ в виде символа.

📝 Шаг 1: Нахождение частной производной $\frac{\partial f}{\partial y}$

Мы будем дифференцировать каждый член (слагаемое) функции по очереди, применяя правило степенной функции $(c \cdot u^n)' = c \cdot n \cdot u^{n-1}$, где $c$ - константа.

Исходная функция: $f(x,y) = y^4 - x^3y^2 + 5x^3y^3 - 5x^4 - 2x^4y^4 - 2x^5y$

1. Член $y^4$:

   • Здесь нет $x$. Это простая производная по $y$.
   • $\frac{\partial}{\partial y}(y^4) = 4y^{4-1} = 4y^3$

2. Член $-x^3y^2$:

   • Считаем $-x^3$ константой (множителем).
   • $\frac{\partial}{\partial y}(-x^3y^2) = -x^3 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = -x^3 \cdot (2y) = -2x^3y$

3. Член $+5x^3y^3$:

   • Считаем $5x^3$ константой.
   • $\frac{\partial}{\partial y}(5x^3y^3) = 5x^3 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^3) = 5x^3 \cdot (3y^2) = 15x^3y^2$

4. Член $-5x^4$:

   • Этот член не содержит $y$. Значит, с точки зрения дифференцирования по $y$, это константа.
   • Производная от константы равна нулю.
   • $\frac{\partial}{\partial y}(-5x^4) = 0$

5. Член $-2x^4y^4$:

   • Считаем $-2x^4$ константой.
   • $\frac{\partial}{\partial y}(-2x^4y^4) = -2x^4 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^4) = -2x^4 \cdot (4y^3) = -8x^4y^3$

6. Член $-2x^5y$:

   • Считаем $-2x^5$ константой. Производная от $y$ равна 1.
   • $\frac{\partial}{\partial y}(-2x^5y) = -2x^5 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) = -2x^5 \cdot 1 = -2x^5$

Теперь соберем все части вместе:
$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 0 - 8x^4y^3 - 2x^5$

Получили выражение для частной производной:
$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 2x^3y + 15x^3y^2 - 8x^4y^3 - 2x^5$

🔢 Шаг 2: Вычисление значения в точке $A(1;3)$

Теперь нам нужно найти значение этой производной в конкретной точке. Это означает, что мы должны подставить $x=1$ и $y=3$ в полученное выражение.

$\frac{\partial f}{\partial y} \Big|_{(1,3)} = 4(3)^3 - 2(1)^3(3) + 15(1)^3(3)^2 - 8(1)^4(3)^3 - 2(1)^5$

Проведем вычисления аккуратно:
* $4(3)^3 = 4 \cdot 27 = 108$
* $-2(1)^3(3) = -2 \cdot 1 \cdot 3 = -6$
* $15(1)^3(3)^2 = 15 \cdot 1 \cdot 9 = 135$
* $-8(1)^4(3)^3 = -8 \cdot 1 \cdot 27 = -216$
* $-2(1)^5 = -2 \cdot 1 = -2$

Сложим все полученные значения:
$108 - 6 + 135 - 216 - 2 = 102 + 135 - 216 - 2 = 237 - 216 - 2 = 21 - 2 = 19$

✅ Проверка и итог

Решение было верным. Мы правильно применили правило дифференцирования степенной функции и корректно обращались с переменной $x$ как с константой. Вычисления в точке также выполнены правильно.

Окончательный ответ: 19

Окей, построим 6 графиков по предоставленным данным: 3 графика для прямой ветви ВАХ и 3 графика для обратной ветви ВАХ, каждый график будет отображать зависимость тока (I) от напряжения (U) для каждого светофильтра (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки можно соединить линиями.

Прямая ветвь ВАХ:

1. Желтый светофильтр: Зависимость тока от напряжения при прямом смещении.
2. Зеленый светофильтр: Зависимость тока от напряжения при прямом смещении.
3. Синий светофильтр: Зависимость тока от напряжения при прямом смещении.

Обратная ветвь ВАХ:

1. Желтый светофильтр: Зависимость тока от напряжения при обратном смещении.
2. Зеленый светофильтр: Зависимость тока от напряжения при обратном смещении.
3. Синий светофильтр: Зависимость тока от напряжения при обратном смещении.

Задание: Построение вольт-амперных характеристик (ВАХ) для различных светофильтров

Для построения ВАХ необходимо использовать данные из таблицы "Результаты измерений". Для каждого светофильтра (Желтый 1, Зеленый 2, Голубой 3, Синий 4, Фиолетовый 5) нужно построить график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В).

В таблице представлены данные для двух диапазонов напряжения:
1. Прямое (ускоряющее) напряжение: $U$ от 0 до 10 В (или 13 В для некоторых фильтров).
2. Обратное (запирающее) напряжение: $U$ от 0 до -0.42 В (или другие значения).

Для каждого светофильтра мы построим отдельную кривую, показывающую, как изменяется ток при изменении напряжения. Это позволит визуально оценить насыщение тока при прямом напряжении и определить запирающее напряжение при обратном напряжении.

Задание: Определение запирающего напряжения (Uз) для каждого светофильтра

Запирающее напряжение $U_з$ - это такое отрицательное напряжение, при котором фототок прекращается (становится равным нулю). На графике ВАХ это соответствует точке пересечения кривой с осью напряжения (ось X) в области отрицательных значений тока.

Из предоставленных данных, запирающее напряжение для каждого светофильтра можно определить как последнее отрицательное напряжение, при котором ток становится равным или очень близким к нулю.

Как видно из таблицы, с уменьшением длины волны (увеличением частоты) света, абсолютное значение запирающего напряжения увеличивается. Это согласуется с теорией фотоэффекта, так как более высокочастотные фотоны обладают большей энергией, и для их остановки требуется большее запирающее напряжение.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Желтый 1"

Для светофильтра "Желтый 1" (длина волны 530 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Зеленый 2"

Для светофильтра "Зеленый 2" (длина волны 515 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Синий 4"

Для светофильтра "Синий 4" (длина волны 490 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Хорошо, давайте построим два отдельных графика: один для прямой ветви ВАХ и один для обратной ветви ВАХ. Каждый график будет содержать три линии, соответствующие разным светофильтрам (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки будут соединены линиями.

📈 График 1: Прямая ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при прямом смещении для каждого из трех светофильтров. Вы увидите, как ток насыщения достигается при увеличении напряжения.

📉 График 2: Обратная ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при обратном смещении для каждого из трех светофильтров. Здесь будет виден запирающий потенциал (напряжение, при котором фототок становится равным нулю) для каждого светофильтра.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Голубой 3"

Для светофильтра "Голубой 3" (длина волны 495 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Фиолетовый 5"

Для светофильтра "Фиолетовый 5" (длина волны 480 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Хорошо, давайте построим два отдельных графика: один для прямой ветви ВАХ и один для обратной ветви ВАХ. Каждый график будет содержать три линии, соответствующие разным светофильтрам (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки будут соединены линиями.

📈 График 1: Прямая ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при прямом смещении для каждого из трех светофильтров. Вы увидите, как ток насыщения достигается при увеличении напряжения.

📉 График 2: Обратная ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при обратном смещении для каждого из трех светофильтров. Здесь будет виден запирающий потенциал (напряжение, при котором фототок становится равным нулю) для каждого светофильтра.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Желтый 1"

Для светофильтра "Желтый 1" (длина волны 530 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Зеленый 2"

Для светофильтра "Зеленый 2" (длина волны 515 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Задание: Построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) для светофильтра "Синий 4"

Для светофильтра "Синий 4" (длина волны 490 нм) построим график зависимости силы тока $I$ (мкА) от напряжения $U$ (В), используя данные из таблицы "Результаты измерений".

Данные для построения:

График покажет, как ток насыщения достигается при положительном напряжении и как ток уменьшается до нуля при отрицательном (запирающем) напряжении.

Хорошо, давайте построим два отдельных графика: один для прямой ветви ВАХ и один для обратной ветви ВАХ. Каждый график будет содержать три линии, соответствующие разным светофильтрам (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки будут соединены линиями.

📈 График 1: Прямая ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при прямом смещении для каждого из трех светофильтров. Вы увидите, как ток насыщения достигается при увеличении напряжения.

📉 График 2: Обратная ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при обратном смещении для каждого из трех светофильтров. Здесь будет виден запирающий потенциал (напряжение, при котором фототок становится равным нулю) для каждого светофильтра.

К сожалению, я не могу рассчитать удельный заряд электрона на основе предоставленного изображения. Для этого требуется больше информации и четкое понимание методики эксперимента, а также формулы, которые необходимо использовать.

Однако, я могу выделить основные этапы, которые обычно используются при расчете удельного заряда электрона в лабораторной работе:

1. Сбор данных:

   • Запишите значения тока ($I_c$) и напряжения ($U_a$) для каждого измерения.
   • Убедитесь, что у вас есть значения параметров установки: радиусы катода ($R_k$) и анода ($R_a$), число витков катушки ($N$).

2. Расчет магнитной индукции (B):

   • Используйте формулу для расчета магнитной индукции в центре катушки (соленоида):
     $B = \mu_0 * n * I$, где:
     • $\mu_0$ - магнитная постоянная ($4\pi * 10^{-7}$ Гн/м)
     • $n$ - число витков на единицу длины ($N/L$, где $L$ - длина соленоида)
     • $I$ - ток через катушку

3. Расчет скорости электронов (v):

   • Используйте формулу для кинетической энергии электрона, полученной при ускорении в электрическом поле:
     $\frac{1}{2}mv^2 = eU_a$, где:
     • $m$ - масса электрона
     • $e$ - заряд электрона
     • $U_a$ - ускоряющее напряжение
   • Выразите скорость $v$ через $U_a$: $v = \sqrt{\frac{2eU_a}{m}}$

4. Уравнение движения электрона в магнитном поле:

   • Электрон движется по окружности в магнитном поле, сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение:
     $evB = \frac{mv^2}{r}$, где:
     • $r$ - радиус траектории электрона

5. Вывод формулы для удельного заряда (e/m):

   • Из уравнения движения выразите отношение $e/m$:
     $\frac{e}{m} = \frac{v}{Br}$
   • Подставьте выражение для $v$ из шага 3:
     $\frac{e}{m} = \frac{\sqrt{\frac{2eU_a}{m}}}{Br}$
   • Упростите и выразите $e/m$:
     $\frac{e}{m} = \frac{2U_a}{B^2r^2}$

6. Определение радиуса траектории (r):

   • Радиус траектории электрона может быть определен геометрически, исходя из радиусов катода и анода. Точная формула зависит от конкретной геометрии установки.

7. Расчет удельного заряда для каждого измерения:

   • Подставьте значения $U_a$, $B$ и $r$ в формулу для $e/m$ и рассчитайте удельный заряд для каждого измерения.

8. Расчет среднего значения и погрешности:

   • Рассчитайте среднее значение удельного заряда и оцените погрешность измерений.

Если вы предоставите больше информации о методике эксперимента и формулах, которые необходимо использовать, я смогу помочь вам с расчетом удельного заряда электрона.

Хорошо, давайте построим два отдельных графика: один для прямой ветви ВАХ и один для обратной ветви ВАХ. Каждый график будет содержать три линии, соответствующие разным светофильтрам (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки будут соединены линиями.

📈 График 1: Прямая ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при прямом смещении для каждого из трех светофильтров. Вы увидите, как ток насыщения достигается при увеличении напряжения.

📉 График 2: Обратная ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при обратном смещении для каждого из трех светофильтров. Здесь будет виден запирающий потенциал (напряжение, при котором фототок становится равным нулю) для каждого светофильтра.

Хорошо, давайте построим два отдельных графика: один для прямой ветви ВАХ и один для обратной ветви ВАХ. Каждый график будет содержать три линии, соответствующие разным светофильтрам (желтый, зеленый, синий).

Описание графиков:

• Ось X (горизонтальная): Напряжение (U) в Вольтах (В)
• Ось Y (вертикальная): Ток (I) в микроамперах (мкА)

Графики будут представлять собой точечные диаграммы, где каждая точка соответствует паре значений (U, I) из таблицы. Для наглядности точки будут соединены линиями.

📈 График 1: Прямая ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при прямом смещении для каждого из трех светофильтров. Вы увидите, как ток насыщения достигается при увеличении напряжения.

📉 График 2: Обратная ветвь ВАХ

Этот график покажет зависимость тока от напряжения при обратном смещении для каждого из трех светофильтров. Здесь будет виден запирающий потенциал (напряжение, при котором фототок становится равным нулю) для каждого светофильтра.

Задание: Определение значений радиуса катода, радиуса анода и числа витков

На основе предоставленного изображения протокола измерений, можно определить следующие параметры установки:

• Радиус катода ($r_K$): $2.7 \times 10^{-3}$ м
• Радиус анода ($r_A$): $4.84 \times 10^{-3}$ м
• Число витков ($N$): $1.8 \times 10^3$ витков

Эти значения являются ключевыми для дальнейшего расчета удельного заряда электрона по формуле, представленной на изображении:

$$\frac{e}{m} = \frac{8U}{\mu_0^2 (r_A - r_K)^2 n^2 I_c^2}$$

Где:
* $U$ — ускоряющее напряжение (в данном случае, $U_a$)
* $\mu_0$ — магнитная постоянная ($4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м)
* $r_A$ — радиус анода
* $r_K$ — радиус катода
* $n$ — число витков на единицу длины соленоида (необходимо уточнить, что $n$ в формуле, скорее всего, обозначает $N/L$, где $L$ — длина соленоида, или же это число витков в катушке, если формула упрощена для конкретной установки)
* $I_c$ — сила тока в соленоиде

Для полного расчета удельного заряда электрона необходимо также знать длину соленоида, чтобы определить $n$ (если $n$ — это плотность витков), или же уточнить, что $n$ в формуле соответствует общему числу витков $N$ (что менее вероятно для такой формулы, но возможно в упрощенных моделях). Также нужны значения $U_a$ и $I_c$ из таблицы результатов измерений.

Задание: Расчет удельного заряда электрона ($e/m$)

Для расчета удельного заряда электрона ($e/m$) воспользуемся предоставленной формулой и данными из протокола измерений. Формула для удельного заряда электрона:

$$\frac{e}{m} = \frac{8U}{\mu_0^2 (r_A - r_K)^2 n^2 I_c^2}$$

Где:
* $U$ — ускоряющее напряжение (из таблицы результатов измерений, например, $U_a = 8$ В, $10$ В, $12$ В)
* $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м
* $r_K$ — радиус катода, $r_K = 2.7 \times 10^{-3}$ м
* $r_A$ — радиус анода, $r_A = 4.84 \times 10^{-3}$ м
* $n$ — число витков на единицу длины соленоида. Из протокола измерений указано "Число витков $N = 1.8 \times 10^3$". Если $n$ в формуле обозначает общее число витков $N$, то $n = 1.8 \times 10^3$. Если же $n$ — это плотность витков ($N/L$), то нам не хватает значения длины соленоида $L$. Исходя из стандартных лабораторных работ по определению $e/m$ с использованием такой формулы, $n$ чаще всего является числом витков на единицу длины, но без указания длины соленоида, мы будем предполагать, что $n$ в формуле соответствует общему числу витков $N$.
* $I_c$ — сила тока в соленоиде (из таблицы результатов измерений, например, $I_c$ для $U_a = 8$ В, $10$ В, $12$ В)

Шаг 1: Определим константы и параметры установки:

• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м
• $r_K = 2.7 \times 10^{-3}$ м
• $r_A = 4.84 \times 10^{-3}$ м
• $N = 1.8 \times 10^3$ витков (предполагаем, что $n = N$)

Шаг 2: Вычислим разность радиусов:

• $r_A - r_K = 4.84 \times 10^{-3} - 2.7 \times 10^{-3} = (4.84 - 2.7) \times 10^{-3} = 2.14 \times 10^{-3}$ м

Шаг 3: Выберем данные для расчета из таблицы "Результаты измерений"

На изображении представлены три набора данных для разных ускоряющих напряжений $U_a$: $8$ В, $10$ В и $12$ В. Для каждого $U_a$ есть несколько значений $I_c$ и соответствующих $I_a$. Для расчета удельного заряда электрона нам нужны значения $U_a$ и $I_c$. Возьмем, например, первый набор данных для $U_a = 8$ В:

• $U = U_a = 8$ В
• $I_c = 0.731$ А (первое значение для $U_a = 8$ В)

Шаг 4: Подставим значения в формулу и рассчитаем $e/m$

$$\frac{e}{m} = \frac{8 \times 8}{(4\pi \times 10^{-7})^2 (2.14 \times 10^{-3})^2 (1.8 \times 10^3)^2 (0.731)^2}$$

Выполним расчеты:

• $8U = 8 \times 8 = 64$
• $\mu_0^2 = (4\pi \times 10^{-7})^2 = (12.566 \times 10^{-7})^2 \approx 157.91 \times 10^{-14} = 1.5791 \times 10^{-12}$
• $(r_A - r_K)^2 = (2.14 \times 10^{-3})^2 = 4.5796 \times 10^{-6}$
• $n^2 = (1.8 \times 10^3)^2 = 3.24 \times 10^6$
• $I_c^2 = (0.731)^2 = 0.534361$

Теперь подставим эти значения в знаменатель:

• Знаменатель = $1.5791 \times 10^{-12} \times 4.5796 \times 10^{-6} \times 3.24 \times 10^6 \times 0.534361$
• Знаменатель $\approx 1.5791 \times 4.5796 \times 3.24 \times 0.534361 \times 10^{-12} \times 10^{-6} \times 10^6$
• Знаменатель $\approx 11.77 \times 10^{-12}$

Теперь рассчитаем $e/m$:

$$\frac{e}{m} = \frac{64}{11.77 \times 10^{-12}} \approx 5.437 \times 10^{12} \text{ Кл/кг}$$

Важное примечание: Полученное значение $5.437 \times 10^{12}$ Кл/кг значительно отличается от общепринятого значения удельного заряда электрона, которое составляет примерно $1.7588 \times 10^{11}$ Кл/кг. Это расхождение может быть вызвано несколькими причинами:

1. Неправильная интерпретация $n$: Если $n$ в формуле обозначает не общее число витков $N$, а число витков на единицу длины соленоида ($n = N/L$), то для корректного расчета нам необходима длина соленоида $L$. Без этого значения расчет будет неточным.
2. Ошибки в данных: Возможно, в таблице или в параметрах установки есть опечатки.
3. Упрощенная формула: Формула может быть упрощенной и не учитывать все факторы, влияющие на движение электронов в данной установке.
4. Выбор конкретного измерения: Для более точного результата необходимо провести расчеты для всех доступных пар $(U_a, I_c)$ и найти среднее значение, а также оценить погрешность.

Для получения более точного результата, пожалуйста, уточните, что именно обозначает $n$ в формуле (общее число витков или плотность витков) и, если это плотность витков, предоставьте длину соленоида.

Задание: Расчет удельного заряда электрона ($e/m$) с новыми параметрами установки

Теперь выполним расчет удельного заряда электрона ($e/m$) с обновленными параметрами установки, которые вы предоставили. Формула остается прежней:

$$\frac{e}{m} = \frac{8U}{\mu_0^2 (r_A - r_K)^2 n^2 I_c^2}$$

Где:
* $U$ — ускоряющее напряжение (из таблицы результатов измерений)
* $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м
* $r_K$ — радиус катода
* $r_A$ — радиус анода
* $n$ — число витков на единицу длины соленоида
* $I_c$ — сила тока в соленоиде

Шаг 1: Определим новые константы и параметры установки:

• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ Гн/м
• Новый радиус катода ($r_K$): $7 \times 10^{-3}$ м
• Новый радиус анода ($r_A$): $15 \times 10^{-3}$ м
• Новое число витков на единицу длины ($n$): $1.8 \times 10^3$ м$^{-1}$ (теперь ясно, что $n$ — это плотность витков, а не общее число витков)

Шаг 2: Вычислим разность радиусов:

• $r_A - r_K = 15 \times 10^{-3} - 7 \times 10^{-3} = (15 - 7) \times 10^{-3} = 8 \times 10^{-3}$ м

Шаг 3: Выберем данные для расчета из таблицы "Результаты измерений"

Возьмем тот же первый набор данных для $U_a = 8$ В:

• $U = U_a = 8$ В
• $I_c = 0.731$ А (первое значение для $U_a = 8$ В)

Шаг 4: Подставим значения в формулу и рассчитаем $e/m$

$$\frac{e}{m} = \frac{8 \times 8}{(4\pi \times 10^{-7})^2 (8 \times 10^{-3})^2 (1.8 \times 10^3)^2 (0.731)^2}$$

Выполним расчеты:

• $8U = 8 \times 8 = 64$
• $\mu_0^2 = (4\pi \times 10^{-7})^2 = (12.566 \times 10^{-7})^2 \approx 1.5791 \times 10^{-12}$
• $(r_A - r_K)^2 = (8 \times 10^{-3})^2 = 64 \times 10^{-6}$
• $n^2 = (1.8 \times 10^3)^2 = 3.24 \times 10^6$
• $I_c^2 = (0.731)^2 = 0.534361$

Теперь подставим эти значения в знаменатель:

• Знаменатель = $1.5791 \times 10^{-12} \times 64 \times 10^{-6} \times 3.24 \times 10^6 \times 0.534361$
• Знаменатель $\approx 1.5791 \times 64 \times 3.24 \times 0.534361 \times 10^{-12} \times 10^{-6} \times 10^6$
• Знаменатель $\approx 174.5 \times 10^{-12}$

Теперь рассчитаем $e/m$:

$$\frac{e}{m} = \frac{64}{174.5 \times 10^{-12}} \approx 0.3667 \times 10^{12} = 3.667 \times 10^{11} \text{ Кл/кг}$$

Сравнение с общепринятым значением:

Полученное значение $3.667 \times 10^{11}$ Кл/кг ближе к общепринятому значению удельного заряда электрона ($1.7588 \times 10^{11}$ Кл/кг), чем предыдущий расчет, но все еще отличается примерно в 2 раза. Это может быть связано с:

• Точностью измерений: Лабораторные измерения всегда имеют погрешности.
• Округлениями: В процессе расчетов были использованы округленные значения.
• Особенностями установки: Возможно, формула является упрощенной моделью для данной установки, или есть другие факторы, которые не учтены.

Для более точного результата рекомендуется:

1. Провести расчеты для всех доступных пар $(U_a, I_c)$ из таблицы.
2. Найти среднее значение удельного заряда электрона.
3. Оценить погрешность измерений и расчетов.

Давайте рассчитаем значения тока для U=10 В и U=12 В, используя данные из таблицы для прямой ветви ВАХ.

Для U=10 В, значения тока (I, мкА) уже представлены в таблице:
* Желтый светофильтр: 17.2 мкА
* Зеленый светофильтр: 17.49 мкА
* Синий светофильтр: 17.49 мкА

Для U=12 В, значения тока отсутствуют в таблице напрямую. Мы можем использовать линейную интерполяцию, чтобы оценить значения тока между ближайшими известными точками (U=10 В и U=13 В).

Формула линейной интерполяции:
$I(U) = I_1 + (I_2 - I_1) \frac{U - U_1}{U_2 - U_1}$

Где:
* $U_1$ и $I_1$ — координаты первой точки (10 В, I при 10 В)
* $U_2$ и $I_2$ — координаты второй точки (13 В, I при 13 В)
* $U$ — напряжение, для которого мы хотим найти ток (12 В)

🧮 Расчет для U = 12 В:

1. Желтый светофильтр:

   • $U_1 = 10$ В, $I_1 = 17.2$ мкА
   • $U_2 = 13$ В, $I_2 = 17.35$ мкА
   • $I(12) = 17.2 + (17.35 - 17.2) \frac{12 - 10}{13 - 10} = 17.2 + 0.15 \frac{2}{3} = 17.2 + 0.1 = 17.3$ мкА

2. Зеленый светофильтр:

   • $U_1 = 10$ В, $I_1 = 17.49$ мкА
   • $U_2 = 13$ В, $I_2 = 17.65$ мкА
   • $I(12) = 17.49 + (17.65 - 17.49) \frac{12 - 10}{13 - 10} = 17.49 + 0.16 \frac{2}{3} \approx 17.49 + 0.1067 \approx 17.597$ мкА

3. Синий светофильтр:

   • $U_1 = 10$ В, $I_1 = 17.49$ мкА
   • $U_2 = 13$ В, $I_2 = 17.64$ мкА
   • $I(12) = 17.49 + (17.64 - 17.49) \frac{12 - 10}{13 - 10} = 17.49 + 0.15 \frac{2}{3} = 17.49 + 0.1 = 17.59$ мкА

📊 Сводка результатов:

Конечно, давайте разберем решение Задания №1: Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли более подробно.

🎯 Цель задания

Основная цель — вычислить значение $H_З$, горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли, используя тангенс-гальванометр. Это прибор, который создает собственное магнитное поле, и по его взаимодействию с полем Земли мы можем найти искомую величину.

📝 Исходные данные

Из протокола у нас есть следующие данные:
* Параметры установки:
* Коэффициент тангенс-гальванометра: $K = 0,2$ м
* Радиус витков: $R = 0,2$ м
* Число витков: $N = 30$
* Результаты измерений: В таблице приведены значения тока $I$ и соответствующие углы отклонения стрелки компаса $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Для расчетов используется средний угол $\alpha_{ср}$.

🧠 Физические принципы и правила

В основе задания лежит принцип суперпозиции магнитных полей. В центре тангенс-гальванометра действуют два взаимно перпендикулярных горизонтальных магнитных поля:
1. Магнитное поле Земли ($H_З$): Направлено вдоль меридиана (на север).
2. Магнитное поле катушки ($H_К$): Создается током в витках и направлено перпендикулярно плоскости витков.

Магнитная стрелка компаса устанавливается по направлению результирующего вектора $H_{рез}$. Эти три вектора образуют прямоугольный треугольник, как показано на визуализации ниже.

Из тригонометрии мы знаем, что тангенс угла отклонения стрелки ($\alpha$) равен отношению противолежащего катета ($H_К$) к прилежащему ($H_З$):

$tg(\alpha) = \frac{H_К}{H_З}$

Отсюда мы можем выразить искомую величину:

$H_З = \frac{H_К}{tg(\alpha)}$

Напряженность поля в центре кругового витка с током ($H_К$) рассчитывается по формуле:

$H_К = \frac{N \cdot I}{2R}$

Подставив это в предыдущую формулу, получаем итоговую расчетную формулу для $H_З$:

$H_З = \frac{N \cdot I}{2R \cdot tg(\alpha_{ср})}$

🔢 Проверка расчетов (на примере первой строки)

Давайте проверим расчет для первой строки таблицы:
* $I = 50$ мА = $0.05$ А
* $\alpha_1 = 21^\circ$
* $\alpha_2 = 24^\circ$
* $\alpha_{ср} = \frac{21 + 24}{2} = 22.5^\circ$

Теперь подставим все значения в формулу:

$H_З = \frac{30 \cdot 0.05}{2 \cdot 0.2 \cdot tg(22.5^\circ)} = \frac{1.5}{0.4 \cdot 0.4142} \approx \frac{1.5}{0.16568} \approx 9.05$ А/м

В протоколе указано значение $10.38$ А/м. Расхождение может быть связано с использованием другой формулы или коэффициента. В некоторых методиках используется формула $H_З = K \cdot I \cdot ctg(\alpha)$, где $K$ — константа прибора. Если предположить, что $K = \frac{N}{2R}$, то результаты должны совпадать. Возможно, в протоколе была допущена ошибка при вычислении или в константах.

Тем не менее, логика и физические принципы, описанные выше, являются стандартными для данного типа лабораторных работ.

📊 Выводы по результатам

• С увеличением тока $I$ в катушке растет создаваемое ей поле $H_К$.
• Это приводит к увеличению угла отклонения стрелки $\alpha_{ср}$.
• Рассчитанные значения $H_З$ должны быть примерно одинаковыми для всех измерений, так как поле Земли в данной точке постоянно. Разброс значений (от $10.38$ до $11.21$ А/м) объясняется погрешностями измерений.