Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.
Задание 1.1.12
Дано:
$f(x) = 3x^3 + x^2 + 2$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \ 0 & -3 \end{pmatrix}$
Найти: $f(A)$
Решение:
-
Вычислим $A^2$:
$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \ 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5-15 \ 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -10 \ 0 & 9 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $A^3$:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -10 \ 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5+30 \ 0 & -27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 35 \ 0 & -27 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $3A^3$:
$3A^3 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 35 \ 0 & -27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 105 \ 0 & -81 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $f(A) = 3A^3 + A^2 + 2E$, где $E$ - единичная матрица:
$f(A) = \begin{pmatrix} 3 & 105 \ 0 & -81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -10 \ 0 & 9 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 105 \ 0 & -81 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -10 \ 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1+2 & 105-10+0 \ 0+0+0 & -81+9+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 95 \ 0 & -70 \end{pmatrix}$
Ответ:
$f(A) = \begin{pmatrix} 6 & 95 \ 0 & -70 \end{pmatrix}$
Задание 1.1.13
Дано:
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 3 \end{pmatrix}$
Найти: $f(A)$
Решение:
-
Вычислим $A^2$:
$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2+6 \ -2-6 & -4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 \ -8 & 5 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $A^3$:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -3 & 8 \ -8 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3-16 & -6+24 \ -8-10 & -16+15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19 & 18 \ -18 & -1 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $2A^3$:
$2A^3 = 2 \cdot \begin{pmatrix} -19 & 18 \ -18 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38 & 36 \ -36 & -2 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $3A^2$:
$3A^2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} -3 & 8 \ -8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 24 \ -24 & 15 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $f(A) = 2A^3 - 3A^2 + 5E$, где $E$ - единичная матрица:
$f(A) = \begin{pmatrix} -38 & 36 \ -36 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 & 24 \ -24 & 15 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38 & 36 \ -36 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -9 & 24 \ -24 & 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -38+9+5 & 36-24+0 \ -36+24+0 & -2-15+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & 12 \ -12 & -12 \end{pmatrix}$
Ответ:
$f(A) = \begin{pmatrix} -24 & 12 \ -12 & -12 \end{pmatrix}$
Задание 1.1.14
Дано:
$f(x) = 3x^2 - 5x + 2$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$
Найти: $f(A)$
Решение:
-
Вычислим $A^2$:
$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+0 & 2+4+0 & 0-2+0 \ 0+0+2 & 0+4-1 & 0-2-4 \ -2+0-8 & -4+2+4 & 0-1+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \ 2 & 3 & -6 \ -10 & 2 & 15 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $3A^2$:
$3A^2 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \ 2 & 3 & -6 \ -10 & 2 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \ 6 & 9 & -18 \ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $5A$:
$5A = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \ 0 & 10 & -5 \ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $f(A) = 3A^2 - 5A + 2E$, где $E$ - единичная матрица:
$f(A) = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \ 6 & 9 & -18 \ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \ 0 & 10 & -5 \ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 18 & -6 \ 6 & 9 & -18 \ -30 & 6 & 45 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \ 0 & 10 & -5 \ -10 & 5 & 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-5+2 & 18-10+0 & -6-0+0 \ 6-0+0 & 9-10+2 & -18+5+0 \ -30+10+0 & 6-5+0 & 45-20+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \ 6 & 1 & -13 \ -20 & 1 & 27 \end{pmatrix}$
Ответ:
$f(A) = \begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \ 6 & 1 & -13 \ -20 & 1 & 27 \end{pmatrix}$
