Задание 1: Решение матричного уравнения

Нам дано матричное уравнение вида $AX = B$, где:

$A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \
1 & 4 & 3 \
-1 & 1 & -2
\end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix}
3 \
7 \
-7
\end{pmatrix}$

Для решения этого уравнения необходимо найти обратную матрицу $A^{-1}$ и затем умножить ее на матрицу $B$: $X = A^{-1}B$.

Шаг 1: Вычисление определителя матрицы $A$

Определитель матрицы $A$ (обозначается как $\det(A)$ или $|A|$) вычисляется по формуле:

$\det(A) = 2 \cdot (4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1)) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot (-1))$
$\det(A) = 2 \cdot (-8 - 3) - 1 \cdot (-2 + 3) + 2 \cdot (1 + 4)$
$\det(A) = 2 \cdot (-11) - 1 \cdot (1) + 2 \cdot (5)$
$\det(A) = -22 - 1 + 10$
$\det(A) = -13$

Так как $\det(A) \neq 0$, обратная матрица $A^{-1}$ существует.

Шаг 2: Вычисление матрицы алгебраических дополнений $C$

Матрица алгебраических дополнений $C$ состоит из элементов $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, где $M_{ij}$ — минор элемента $a_{ij}$.

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 3 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) = -8 - 3 = -11$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1)) = -1 \cdot (-2 + 3) = -1$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot (-1)) = 1 + 4 = 5$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (-2 - 2) = 4$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1)) = -4 + 2 = -2$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1 \cdot (2 + 1) = -3$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) = 3 - 8 = -5$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (6 - 2) = -4$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = 8 - 1 = 7$

Таким образом, матрица алгебраических дополнений $C$:

$C = \begin{pmatrix}
-11 & -1 & 5 \
4 & -2 & -3 \
-5 & -4 & 7
\end{pmatrix}$

Шаг 3: Вычисление транспонированной матрицы алгебраических дополнений $C^T$ (присоединенной матрицы $adj(A)$)

$C^T = \begin{pmatrix}
-11 & 4 & -5 \
-1 & -2 & -4 \
5 & -3 & 7
\end{pmatrix}$

Шаг 4: Вычисление обратной матрицы $A^{-1}$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix}
-11 & 4 & -5 \
-1 & -2 & -4 \
5 & -3 & 7
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{11}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{5}{13} \
\frac{1}{13} & \frac{2}{13} & \frac{4}{13} \
-\frac{5}{13} & \frac{3}{13} & -\frac{7}{13}
\end{pmatrix}$

Шаг 5: Умножение $A^{-1}$ на $B$ для нахождения $X$

$X = A^{-1}B = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix}
-11 & 4 & -5 \
-1 & -2 & -4 \
5 & -3 & 7
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 \
7 \
-7
\end{pmatrix}$

$x_1 = \frac{1}{-13} ((-11) \cdot 3 + 4 \cdot 7 + (-5) \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (-33 + 28 + 35) = \frac{1}{-13} (30) = -\frac{30}{13}$
$x_2 = \frac{1}{-13} ((-1) \cdot 3 + (-2) \cdot 7 + (-4) \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (-3 - 14 + 28) = \frac{1}{-13} (11) = -\frac{11}{13}$
$x_3 = \frac{1}{-13} (5 \cdot 3 + (-3) \cdot 7 + 7 \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (15 - 21 - 49) = \frac{1}{-13} (-55) = \frac{55}{13}$

Таким образом, решение системы:

$X = \begin{pmatrix}
-\frac{30}{13} \
-\frac{11}{13} \
\frac{55}{13}
\end{pmatrix}$

Проверка (необязательно, но рекомендуется)

Подставим найденные значения $X$ в исходное уравнение $AX=B$:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \
1 & 4 & 3 \
-1 & 1 & -2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-\frac{30}{13} \
-\frac{11}{13} \
\frac{55}{13}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2(-\frac{30}{13}) + 1(-\frac{11}{13}) + 2(\frac{55}{13}) \
1(-\frac{30}{13}) + 4(-\frac{11}{13}) + 3(\frac{55}{13}) \
-1(-\frac{30}{13}) + 1(-\frac{11}{13}) - 2(\frac{55}{13})
\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}
\frac{-60 - 11 + 110}{13} \
\frac{-30 - 44 + 165}{13} \
\frac{30 - 11 - 110}{13}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{39}{13} \
\frac{91}{13} \
\frac{-91}{13}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 \
7 \
-7
\end{pmatrix}$

Результат совпадает с матрицей $B$, что подтверждает правильность решения. ✅