Язык задания: Russian.

Задание: Выбор бесконечно малых последовательностей

Необходимо определить, какие из предложенных последовательностей являются бесконечно малыми.

Бесконечно малая последовательность - это последовательность, предел которой равен нулю.

Рассмотрим каждую последовательность:

1. log₅(1/n)

   При $n \to \infty$, $1/n \to 0$. Следовательно, $\log_5(1/n) \to -\infty$. Эта последовательность не является бесконечно малой.

2. log₁/n(5)

   При $n \to \infty$, $1/n \to 0$. Тогда $\log_{1/n}(5)$ можно переписать как $\frac{\ln(5)}{\ln(1/n)} = \frac{\ln(5)}{-\ln(n)}$. При $n \to \infty$, $\ln(n) \to \infty$, следовательно, $\frac{\ln(5)}{-\ln(n)} \to 0$. Эта последовательность является бесконечно малой.

3. 5^(ln(1/n))

   При $n \to \infty$, $1/n \to 0$. Тогда $\ln(1/n) = -\ln(n) \to -\infty$. Следовательно, $5^{\ln(1/n)} = 5^{-\ln(n)} = \frac{1}{5^{\ln(n)}} \to 0$. Эта последовательность является бесконечно малой.

4. ln(5^(1/n))

   При $n \to \infty$, $1/n \to 0$. Тогда $5^{1/n} \to 5^0 = 1$. Следовательно, $\ln(5^{1/n}) \to \ln(1) = 0$. Эта последовательность является бесконечно малой.

Ответ: Бесконечно малыми являются последовательности:

• log₁/n(5)
• 5^(ln(1/n))
• ln(5^(1/n))