Решение неопределенного интеграла cos^7(x)sin^2(x)

Задание 1: Найти неопределенный интеграл $\int \cos^7 x \sin^2 x dx$

Для решения этого интеграла, мы можем использовать замену и тригонометрические тождества.

Представим $\sin^2 x$ как $1 - \cos^2 x$:
$\int \cos^7 x \sin^2 x dx = \int \cos^7 x (1 - \cos^2 x) dx = \int (\cos^7 x - \cos^9 x) dx$
Теперь рассмотрим интеграл $\int \cos^n x dx$. Мы можем использовать рекуррентную формулу:
$\int \cos^n x dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x dx$
Применим эту формулу для $\int \cos^7 x dx$ и $\int \cos^9 x dx$:
$\int \cos^7 x dx = \frac{1}{7} \cos^6 x \sin x + \frac{6}{7} \int \cos^5 x dx$
$\int \cos^5 x dx = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5} \int \cos^3 x dx$
$\int \cos^3 x dx = \frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \int \cos x dx = \frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x$

$\int \cos^7 x dx = \frac{1}{7} \cos^6 x \sin x + \frac{6}{7} (\frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5} (\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x)) = \frac{1}{7} \cos^6 x \sin x + \frac{6}{35} \cos^4 x \sin x + \frac{8}{35} \cos^2 x \sin x + \frac{16}{35} \sin x$

$\int \cos^9 x dx = \frac{1}{9} \cos^8 x \sin x + \frac{8}{9} \int \cos^7 x dx = \frac{1}{9} \cos^8 x \sin x + \frac{8}{9} (\frac{1}{7} \cos^6 x \sin x + \frac{6}{35} \cos^4 x \sin x + \frac{8}{35} \cos^2 x \sin x + \frac{16}{35} \sin x) = \frac{1}{9} \cos^8 x \sin x + \frac{8}{63} \cos^6 x \sin x + \frac{16}{105} \cos^4 x \sin x + \frac{64}{315} \cos^2 x \sin x + \frac{128}{315} \sin x$
Теперь вычтем $\int \cos^9 x dx$ из $\int \cos^7 x dx$:
$\int (\cos^7 x - \cos^9 x) dx = (\frac{1}{7} - \frac{8}{63}) \cos^6 x \sin x + (\frac{6}{35} - \frac{16}{105}) \cos^4 x \sin x + (\frac{8}{35} - \frac{64}{315}) \cos^2 x \sin x + (\frac{16}{35} - \frac{128}{315}) \sin x - \frac{1}{9} \cos^8 x \sin x + C$
$= \frac{1}{63} \cos^6 x \sin x + \frac{2}{105} \cos^4 x \sin x + \frac{8}{315} \cos^2 x \sin x + \frac{16}{315} \sin x - \frac{1}{9} \cos^8 x \sin x + C$