Задание: Вычислить интеграл $\int (x^2-1)^3 x dx$

Решим данный определенный интеграл. Судя по изображению, пределы интегрирования от -1 до 2.

Для решения этого интеграла сделаем замену переменной:

Пусть $u = x^2-1$, тогда $du = 2x dx$ или $x dx = \frac{du}{2}$

Подставим в исходный интеграл:

$\int (x^2-1)^3 x dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^3 du$

Интегрируем $u^3$ по формуле $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{u^4}{8} + C = \frac{(x^2-1)^4}{8} + C$

Теперь найдем значение определенного интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{2} (x^2-1)^3 x dx = \left[ \frac{(x^2-1)^4}{8} \right]_{-1}^{2}$

Подставим верхний предел $x = 2$:
$\frac{(2^2-1)^4}{8} = \frac{(4-1)^4}{8} = \frac{3^4}{8} = \frac{81}{8}$

Подставим нижний предел $x = -1$:
$\frac{((-1)^2-1)^4}{8} = \frac{(1-1)^4}{8} = \frac{0^4}{8} = 0$

Ответ: $\int_{-1}^{2} (x^2-1)^3 x dx = \frac{81}{8} - 0 = \frac{81}{8}$