Здравствуйте! Отлично, давайте решим эти задания по порядку.
Задание 1. Выполнение действий с матрицами
Дано:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 5 & -2 \end{pmatrix}$
Нужно найти: $C = A \cdot B^T - 3B$
-
Находим транспонированную матрицу $B^T$:
$B^T = \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 1 & -2 \end{pmatrix}$
-
Вычисляем произведение $A \cdot B^T$:
$A \cdot B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot -1 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 5 + 2 \cdot -2) \ (3 \cdot -1 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 5 + 4 \cdot -2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 7 \end{pmatrix}$
-
Вычисляем $3B$:
$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \ 15 & -6 \end{pmatrix}$
-
Вычисляем $C = A \cdot B^T - 3B$:
$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 \ 15 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-3) & 1 - 3 \ 1 - 15 & 7 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -14 & 13 \end{pmatrix}$
Ответ: $C = \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -14 & 13 \end{pmatrix}$
Задание 2. Вычисление определителей
а) $\begin{vmatrix} 12 & -9 \ 0 & -5 \end{vmatrix}$
Определитель матрицы 2x2 вычисляется как: $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
В данном случае:
$\begin{vmatrix} 12 & -9 \ 0 & -5 \end{vmatrix} = (12 \cdot -5) - (-9 \cdot 0) = -60 - 0 = -60$
Ответ: -60
б) $\begin{vmatrix} 1 & -8 & 4 \ 0 & 5 & 3 \ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix}$
Определитель матрицы 3x3 можно вычислить разложением по первой строке:
$\begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} e & f \ h & i \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} d & f \ g & i \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} d & e \ g & h \end{vmatrix}$
В данном случае:
$\begin{vmatrix} 1 & -8 & 4 \ 0 & 5 & 3 \ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 1 & 7 \end{vmatrix} - (-8) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 1 & 7 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 8 \cdot (0 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - 5 \cdot 1) = 1 \cdot (35 - 3) + 8 \cdot (0 - 3) + 4 \cdot (0 - 5) = 32 - 24 - 20 = -12$
Ответ: -12
Задание 3. Решение систем методом Крамера
а) $\begin{cases} 2x - 3y = 5 \ x - 6y = -2 \end{cases}$
-
Вычисляем главный определитель системы:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 1 & -6 \end{vmatrix} = (2 \cdot -6) - (-3 \cdot 1) = -12 + 3 = -9$
-
Вычисляем определитель для $x$:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \ -2 & -6 \end{vmatrix} = (5 \cdot -6) - (-3 \cdot -2) = -30 - 6 = -36$
-
Вычисляем определитель для $y$:
$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2 \cdot -2) - (5 \cdot 1) = -4 - 5 = -9$
-
Находим $x$ и $y$:
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-36}{-9} = 4$
$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-9}{-9} = 1$
Ответ: $x = 4, y = 1$
