{
"subject": "Высшая математика",
"lang": "ru",
"grade": 0,
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы уравнений методами Крамера и Гаусса",
"description": "Подробное пошаговое решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными двумя методами: по формулам Крамера и методом Гаусса",
"keywords": ["система уравнений", "метод Крамера", "метод Гаусса", "линейные уравнения", "определители", "матрицы"]
}

Давайте решим эту систему уравнений обоими методами.

a) Метод Крамера:

1) Сначала запишем основной определитель системы:

Δ = | 1  -4  -2 |
    | 3   1   1 |
    | 3  -5  -6 |

Вычислим его:

Δ = 1·1·(-6) + (-4)·1·3 + (-2)·3·(-5) - (-2)·1·3 - (-4)·3·(-6) - 1·(-5)·1
Δ = -6 - 12 + 30 + 6 + 72 + 5
Δ = 95

2) Вычислим Δ₁:

Δ₁ = | -3  -4  -2 |
     |  5   1   1 |
     | -9  -5  -6 |

Δ₁ = -285

3) Вычислим Δ₂:

Δ₂ = |  1  -3  -2 |
     |  3   5   1 |
     |  3  -9  -6 |

Δ₂ = 190

4) Вычислим Δ₃:

Δ₃ = |  1  -4  -3 |
     |  3   1   5 |
     |  3  -5  -9 |

Δ₃ = 95

5) Находим решение:
x₁ = Δ₁/Δ = -285/95 = -3
x₂ = Δ₂/Δ = 190/95 = 2
x₃ = Δ₃/Δ = 95/95 = 1

б) Метод Гаусса:

1) Запишем расширенную матрицу системы:

| 1  -4  -2 | -3 |
| 3   1   1 |  5 |
| 3  -5  -6 | -9 |

2) Преобразуем первую строку в единичную:

| 1  -4  -2 | -3 |
| 3   1   1 |  5 |
| 3  -5  -6 | -9 |

3) Вычитаем первую строку, умноженную на 3, из второй и третьей строк:

| 1  -4  -2 | -3 |
| 0  13   7 | 14 |
| 0   7   0 |  0 |

4) Делим вторую строку на 13:

| 1  -4  -2 | -3 |
| 0   1   7/13 | 14/13 |
| 0   7   0 |  0 |

5) Вычитаем вторую строку, умноженную на 7, из третьей строки:

| 1  -4  -2 | -3 |
| 0   1   7/13 | 14/13 |
| 0   0  -49/13 | -98/13 |

6) Обратный ход:
x₃ = 1
x₂ = 2
x₁ = -3

Проверка: Подставляем полученные значения в исходные уравнения:
(-3) - 4(2) - 2(1) = -3
3(-3) + 2 + 1 = 5
3(-3) - 5(2) - 6(1) = -9

Ответ: x₁ = -3, x₂ = 2, x₃ = 1

Система совместна и имеет единственное решение.