Решение систем линейных уравнений: методы Крамера, Гаусса и матричный

Задание 1: Решение системы уравнений по правилу Крамера

Система уравнений имеет вид:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$

Вычисление главного определителя системы (Δ):

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \
3 & 1 & 1 \
4 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(3\cdot2 - 1\cdot4) + 3\cdot(3\cdot1 - 1\cdot4) = 1\cdot(2-1) - 2\cdot(6-4) + 3\cdot(3-4) = 1 - 4 - 3 = -6
$$

Вычисление определителя для x₁ (Δ₁):

Заменяем первый столбец главного определителя на столбец свободных членов:

$$
\Delta_1 = \begin{vmatrix}
5 & 2 & 3 \
7 & 1 & 1 \
8 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 5\cdot(1\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(7\cdot2 - 1\cdot8) + 3\cdot(7\cdot1 - 1\cdot8) = 5\cdot(2-1) - 2\cdot(14-8) + 3\cdot(7-8) = 5 - 12 - 3 = -10
$$

Вычисление определителя для x₂ (Δ₂):

Заменяем второй столбец главного определителя на столбец свободных членов:

$$
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & 5 & 3 \
3 & 7 & 1 \
4 & 8 & 2
\end{vmatrix} = 1\cdot(7\cdot2 - 1\cdot8) - 5\cdot(3\cdot2 - 1\cdot4) + 3\cdot(3\cdot8 - 7\cdot4) = 1\cdot(14-8) - 5\cdot(6-4) + 3\cdot(24-28) = 6 - 10 - 12 = -16
$$

Вычисление определителя для x₃ (Δ₃):

Заменяем третий столбец главного определителя на столбец свободных членов:

$$
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 \
3 & 1 & 7 \
4 & 1 & 8
\end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot8 - 7\cdot1) - 2\cdot(3\cdot8 - 7\cdot4) + 5\cdot(3\cdot1 - 1\cdot4) = 1\cdot(8-7) - 2\cdot(24-28) + 5\cdot(3-4) = 1 + 8 - 5 = 4
$$

Нахождение x₁, x₂ и x₃:

$$
x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}
$$

$$
x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3}
$$

$$
x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}
$$

Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$

Задание 2: Решение системы уравнений методом Гаусса

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$

Запишем расширенную матрицу системы:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 5 \
3 & 1 & 1 & | & 7 \
4 & 1 & 2 & | & 8
\end{bmatrix}
$$

Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: $R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$
Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 4: $R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 5 \
0 & -5 & -8 & | & -8 \
0 & -7 & -10 & | & -12
\end{bmatrix}
$$

Умножим вторую строку на -1/5: $R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 5 \
0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \
0 & -7 & -10 & | & -12
\end{bmatrix}
$$

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 7: $R_3 \rightarrow R_3 + 7R_2$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 5 \
0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \
0 & 0 & \frac{6}{5} & | & \frac{-4}{5}
\end{bmatrix}
$$

Умножим третью строку на 5/6: $R_3 \rightarrow \frac{5}{6}R_3$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 5 \
0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \
0 & 0 & 1 & | & -\frac{2}{3}
\end{bmatrix}
$$

Решим систему уравнений, начиная с последней строки:

$x_3 = -\frac{2}{3}$
$x_2 + \frac{8}{5}x_3 = \frac{8}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{8}{5} + \frac{16}{15} = \frac{24+16}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \Rightarrow x_1 = 5 - 2 \cdot \frac{8}{3} - 3 \cdot (-\frac{2}{3}) = 5 - \frac{16}{3} + 2 = 7 - \frac{16}{3} = \frac{21-16}{3} = \frac{5}{3}$

Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$

Задание 3: Решение системы уравнений матричным способом

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$

Запишем систему в матричном виде:

$AX = B$, где
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 3 & 1 & 1 \ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 5 \ 7 \ 8 \end{bmatrix}$

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$:

Вычислим определитель матрицы A (мы уже делали это в методе Крамера): $\Delta = -6$
Найдем матрицу алгебраических дополнений:

$C_{11} = (1\cdot2 - 1\cdot1) = 1$
$C_{12} = -(3\cdot2 - 1\cdot4) = -2$
$C_{13} = (3\cdot1 - 1\cdot4) = -1$
$C_{21} = -(2\cdot2 - 3\cdot1) = -1$
$C_{22} = (1\cdot2 - 3\cdot4) = -10$
$C_{23} = -(1\cdot1 - 2\cdot4) = 7$
$C_{31} = (2\cdot1 - 3\cdot1) = -1$
$C_{32} = -(1\cdot1 - 3\cdot3) = 8$
$C_{33} = (1\cdot1 - 2\cdot3) = -5$

Матрица алгебраических дополнений:
$C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \ -1 & -10 & 7 \ -1 & 8 & -5 \end{bmatrix}$
Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:

$C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ -2 & -10 & 8 \ -1 & 7 & -5 \end{bmatrix}$
Найдем обратную матрицу: $A^{-1} = \frac{1}{\Delta} C^T = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ -2 & -10 & 8 \ -1 & 7 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \ \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{4}{3} \ \frac{1}{6} & -\frac{7}{6} & \frac{5}{6} \end{bmatrix}$

Найдем решение $X = A^{-1}B$:

$X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \ \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{4}{3} \ \frac{1}{6} & -\frac{7}{6} & \frac{5}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \ 7 \ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{6} + \frac{7}{6} + \frac{8}{6} \ \frac{5}{3} + \frac{35}{3} - \frac{32}{3} \ \frac{5}{6} - \frac{49}{6} + \frac{40}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{10}{6} \ \frac{8}{3} \ -\frac{4}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \ \frac{8}{3} \ -\frac{2}{3} \end{bmatrix}$

Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$