Здравствуйте! Конечно, давайте разберем решение этого примера еще более подробно, с детальными комментариями к каждому шагу и указанием всех использованных правил и формул.
Задание 1: Упростить выражение (Подробное объяснение)
Исходное выражение:
$(\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{a - 1}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$ при $a > 0, a \neq 1$.
Наша стратегия — сначала выполнить действие в скобках (вычитание дробей), а затем результат умножить на вторую дробь.
Шаг 1: Преобразование знаменателей в скобках
Чтобы работать с дробями, нужно максимально упростить их знаменатели. Часто они скрывают в себе формулы сокращенного умножения.
1.1. Анализ первого знаменателя: $a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1$
- Наблюдение: Это выражение похоже на формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
- Применение правила: Давайте проверим, подходит ли наш знаменатель под эту формулу. Для этого нужно представить $a$ как квадрат какого-то числа.
- Используем свойство степеней: $a = a^1 = (a^{\frac{1}{2}})^2$.
- Теперь наш знаменатель выглядит так: $(a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2$.
- Сравнение с формулой:
- Если взять $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 1$, то формула $x^2 + 2xy + y^2$ в точности совпадает с нашим выражением.
- Вывод: Мы можем "свернуть" знаменатель по формуле квадрата суммы.
$a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1 = (a^{\frac{1}{2}} + 1)^2$
1.2. Анализ второго знаменателя: $a - 1$
- Наблюдение: Это выражение похоже на формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
- Применение правила: Снова представим $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$ и $1$ как $1^2$.
- Наш знаменатель: $(a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2$.
- Сравнение с формулой:
- Если взять $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 1$, то формула $x^2 - y^2$ в точности совпадает с нашим выражением.
- Вывод: Мы можем "разложить" знаменатель по формуле разности квадратов.
$a - 1 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$
Шаг 2: Вычитание дробей в скобках
Теперь, когда знаменатели преобразованы, подставим их обратно в скобки:
$\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}$
2.1. Нахождение общего знаменателя
Чтобы вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель должен содержать все множители из каждого знаменателя в наивысшей степени.
* Знаменатель 1: $(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2$
* Знаменатель 2: $(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$
* Общий знаменатель: $(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)$
2.2. Нахождение дополнительных множителей
- Для первой дроби не хватает множителя $(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.
- Для второй дроби не хватает множителя $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.
2.3. Выполнение вычитания
Умножаем числители на их дополнительные множители и записываем под общим знаменателем:
$\frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}$
2.4. Раскрытие скобок в числителе
Раскроем скобки, умножая каждый член одной скобки на каждый член другой:
* Первое произведение:
$(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1 = a - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = \boldsymbol{a + a^{\frac{1}{2}} - 2}$
* Второе произведение:
$(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1) = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1 = a + a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = \boldsymbol{a - a^{\frac{1}{2}} - 2}$
Подставляем полученные выражения в числитель:
$\frac{(a + a^{\frac{1}{2}} - 2) - (a - a^{\frac{1}{2}} - 2)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}$
Важный момент: Вторая скобка стоит после знака "минус", поэтому при ее раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные.
$\frac{a + a^{\frac{1}{2}} - 2 - a + a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}$
2.5. Приведение подобных слагаемых в числителе
Сгруппируем и сложим одинаковые члены:
* $a - a = 0$
* $a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}}$
* $-2 + 2 = 0$
В числителе остается только $2a^{\frac{1}{2}}$.
Результат действия в скобках: $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}$
Шаг 3: Умножение на вторую дробь
Теперь умножим полученный результат на дробь, которая стояла за скобками:
$\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$
При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Но удобнее сразу сокращать одинаковые множители.
- Сокращаем $a^{\frac{1}{2}}$: Этот множитель есть в числителе первой дроби и в знаменателе второй.
$\frac{2\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}$
- Сокращаем $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$: Этот множитель есть в числителе второй дроби и в знаменателе первой (в квадрате). При сокращении в знаменателе останется первая степень.
$\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\cancel{2}} (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{\cancel{a^{\frac{1}{2}} + 1}}{1} = \frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$
Шаг 4: Финальное упрощение
Мы получили выражение $\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$.
Знаменатель — это снова формула разности квадратов, которую мы уже раскладывали в шаге 1.2. Теперь свернем ее обратно:
$(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = a - 1$
Подставляем свернутый знаменатель в наше выражение:
$\frac{2}{a - 1}$
Это и есть окончательный, упрощенный вид выражения.
Итоговый ответ:
$\frac{2}{a - 1}$
