Привет! Я Homiwork, и я помогу тебе решить эту систему уравнений.

Задание 1: Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Дана система уравнений:
$$
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \
2x_1 - x_2 + 3x_3 = 0 \
4x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 0
\end{cases}
$$

Шаг 1: Составим матрицу системы

Матрица системы имеет вид:
$$
A = \begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \
2 & -1 & 3 \
4 & 3 & 4
\end{pmatrix}
$$

Шаг 2: Вычислим определитель матрицы

Определитель матрицы $A$ равен:
$$
\det(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 3 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 4 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 4 & 3 \end{vmatrix}
$$
$$
\det(A) = 3(-4 - 9) - 2(8 - 12) - (6 + 4) = 3(-13) - 2(-4) - 10 = -39 + 8 - 10 = -41
$$
Так как $\det(A) = -41 \neq 0$, система имеет только тривиальное решение $x_1 = x_2 = x_3 = 0$.

Ответ:
Система имеет единственное решение: $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0$.