Язык задания: Russian.
В задании требуется решить тригонометрическое уравнение.
Задание 1
Решить уравнение:
$2\sin^2(2x) = 4\cos(x) - \sin(x) + 1$
Решение:
-
Преобразуем $\sin(2x)$ по формуле двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Тогда $\sin^2(2x) = (2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x)$.
-
Подставим это в исходное уравнение:
$2(4\sin^2(x)\cos^2(x)) = 4\cos(x) - \sin(x) + 1$
$8\sin^2(x)\cos^2(x) = 4\cos(x) - \sin(x) + 1$
-
Выразим $\sin^2(x)$ через $\cos^2(x)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, то есть $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$.
$8(1 - \cos^2(x))\cos^2(x) = 4\cos(x) - \sin(x) + 1$
$8\cos^2(x) - 8\cos^4(x) = 4\cos(x) - \sin(x) + 1$
$8\cos^4(x) - 8\cos^2(x) + 4\cos(x) - \sin(x) + 1 = 0$
-
Заметим, что это уравнение сложно решить аналитически. Попробуем подобрать решение. Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $\cos(x) = 0$ и $\sin(x) = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:
$2\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 4\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2\sin^2(\pi) = 4(0) - 1 + 1$
$2(0)^2 = 0$
$0 = 0$
Таким образом, $x = \frac{\pi}{2}$ является решением.
-
Попробуем $x = 0$:
$2\sin^2(0) = 4\cos(0) - \sin(0) + 1$
$2(0) = 4(1) - 0 + 1$
$0 = 5$
$x = 0$ не является решением.
-
Попробуем $x = \pi$:
$2\sin^2(2\pi) = 4\cos(\pi) - \sin(\pi) + 1$
$2(0) = 4(-1) - 0 + 1$
$0 = -3$
$x = \pi$ не является решением.
-
Уравнение достаточно сложное, и аналитическое решение может быть затруднительным. Можно попробовать использовать численные методы для поиска других решений, но без дополнительных указаний или ограничений на $x$, сложно дать полный ответ.
Ответ:
$x = \frac{\pi}{2}$ является одним из решений уравнения. Другие решения могут быть найдены численными методами.
[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
